Квадратичная функция

Квадратичная функция

Учитель математики МОУ ООШ п. Романовка Завгородняя Т. И.

Примеры квадратичной функции

Площадь квадрата у со стороной х вычисляется по формуле у=х2

Определение. Функция у=ах2+bх+с, где а, b и с заданные действительные числа, а?0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией.

У=х2

Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой

0

Х

-3

-2

-1

0

1

2

3

У

9

4

1

0

1

4

9

Построение графика квадратичной функции у=х2

1. Для того, чтобы построить график функции у=х2, необходимо составить таблицу соответственных значений х и у.

2. Построим эти точки на координатной плоскости, а затем через них Проведём плавную линию. Мы получим график функции у=х2.

У

У=х2

9

4

1

Х

1

-2

0

-3

-1

2

3

Свойства функции у = х2

3). Функция у=х2 возрастает на промежутке [0; +?); убывает на промежутке (- ?; 0]

4). Наименьшее значение функции равна нулю при х=0

1). Значение функции у=х2 положительно при х?0 и равно нулю при х=0 Парабола у=х2 проходит через начало координат, а остальные точки лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у=х2 касается оси абсцисс в точке (0; 0)

2). График функции у=х2 симметричен относительно оси ординат. Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

График квадратичной функции у=kх2 с положительным коэффициентом k.

Чем больше коэффициент, тем круче поднимаются ветви параболы. Чем меньше коэффициент, тем ветви параболы ближе к оси Ох

О

У

У=2х2

У=х2

У=0,5х2

Х

8

4

-4

-2

2

4

График квадратичной функции y=kx2 с отрицательным коэффициентом k

Когда коэффициент k отрицательный, то ветви параболы направлены вниз.

У=-0,5х2

Чем меньше модуль коэффициента k, тем ветви параболы ближе к оси Ох

У=-х2

У=-2х2

У

О

Х

Если в функции у=ах2 коэффициент а=0, то график превратится в прямую

линию, совпадающую с осью абсцисс. Если в функции у=ах2+вх+с коэффициент а равен нулю, то квадратичная функция У=ах2+вх+с превратится в линейную функцию. Поэтому, рассматривая квадратичную функцию, обычно подразумевают, что коэффициент а?0

У

У=0

Х

0

У

У=вх+с

Х

Схема построения графика функции у=ах2+вх+с

;

У0(х0)=ах02+вх0+с

5).Проводим через построенные точки параболу. Ветви параболы направлены вверх при а›0, вниз при а‹0.

1.Находим координаты вершины параболы (х0;у0) с помощью формул:

2. Проводим ось симметрии параболы у=ах2+вх+с, которая проходит через вершину параболы параллельно оси ординат.

3. Находим нули функции, если они есть, приравнивая ах2+вх+с к нулю.

4. Находим симметричные относительно её оси симметрии несколько точек. Вычисляем значения функции в этих точках.

.

.

.

.

.

.

.

По данной схеме построить график функции у=х2-4х+3

1. Вычислим координаты вершины параболы: х0=

;

Построим точку (2; -1)

2. Проведём ось симметрии через точку (2; -1) параллельно оси ординат.

3. Найдём нули функции, решая уравнение Х2-4х+3=0. х1=1; х2=3. Построим точки (1;0) и(3; 0)

4.Построим симметричные точки.

3

3

Ось симметрии.

;В

У0=4-8+3=-1

У

Х

2

0

Х

0

4

-1

5

-1

У

3

3

8

8

Построить график функции у=-4х2+4х-1 и по графику:

1).Найти значения х, при которых значения функции положительны; отрицательны.

2).Найти промежутки возрастания и убывания функции.

3). Выяснить, при каком значении х функция принимает наибольшее или наименьшее значение, и найти его.

.

.

.

.

.

.

.

;

У0=0

Проверка: функция квадратичная, график – парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент а отрицательный.

У

1). Найдём координаты вершины

Х

0

Строим точку с координатами (0,5; 0)

2).Проводим через неё ось симметрии параллельно оси ординат.

3). Находим симметричные точки

Х

0

1

-1

2

У

-1

-1

-9

-9

4). Проведём через полученные точки параболу.

0,5

-1

2

-1

У = - 4х2 + 4х - 1

.

.

.

.

.

1). Значения функции у= - 4х2+4х – 1 положительны при х € ?; отрицательны при х € (-?; 0) ? (0; + ?)

2). Функция возрастает на промежутке (- ?; 0,5]; функция убывает на промежутке [0,5; + ?)

3). При х=0,5 функция принимает наибольшее значение, равное нулю.

0,5

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Построить графики функций у=(х+2)2 и у=(х-3)2

Х

У

У

У=(х+2)2

У=х2

У=х2

У=(х-3)2

9

4

Х

0

6

3

0

-2

-4

Графиком функции у=(х+2)2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х2 на две единицы влево вдоль оси абсцисс.

Графиком функции у=(х-3)2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х2 на три единицы вправо вдоль оси абсцисс.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Построить графики функций у = х2 + 2 и у = х2 - 3

У = х2 - 3

У

У

У = х2 + 2

Х

3

0

-

2

-3

Х

0

Графиком функции у=х2+2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х2 на две единицы вверх по оси Оу.

Графиком функции у = х2 – 3 является парабола, получаемая сдвигом параболы у = х2 на три единицы вниз по оси Оу.

Тест по теме «Квадратичная функция»

1. Найти нули функции у = 2х2 + 5х - 7 [у = 5х2 - 8х - 4]

[ А). 2; -4/5 б). 2; -0,4

.А). 3,5; 1 б). -7; 2 в).-3,5; 1 г). 7; -2

В).-2; 0,4 г). 1; 0,2 ]

2. Определить направление ветвей параболы у = 4х2 [у = - 3х2]

А). Ветви направлены вниз. Б). Ветви направлены вверх.

3. Используя графики, выяснить какие из этих функций возрастают на промежутке [0; +?)

У

[ (-?; 0] ]

У

У

Б).

В).

А).

0

Х

Х

0

Х

0

0

Прдолжение теста

4. Найти коэффициент а, если парабола у = ах2 проходит через точку А(-1; 1) [ В(1; 2) ] А), 1 Б).-1 В). 2 Г). -2

5.Найти координаты вершины параболы у = (х -3)2 -2 [ у = (х + 2)2 – 3 ] А). (-3; -2) Б). (3; 2 ) В). (3; -2) Г). ( -2; -3)

6. Найти координаты вершины параболы У = 2х2 – 8х + 11 [ у = -3х2 + 18х – 7 ] А). (2; 3) Б). ( 3; 20 ) В). ( 3; 2 ) Г). (20; 3)

7. Ось симметрии параболы у = х2 – 10х [ у = 3х2 – 12х ] проходит через точку А). (5; 10) Б). (5; -25) В). (2; -12) Г). (2; 5)

Продолжение теста

8. Не строя графика функции, найти её наибольшее или наименьшее значение: У = х2 + 2х + 3 [ у = -х2 + 2х + 3 ] А).(-1; 2) наибольшее значение; Б). (-1; 2) наименьшее значение; В).(1; 4) наибольшее значение; Г). (1; 4) наименьшее значение.

9. Верно ли утверждение, что функция у = х2 [ у = - х2 ] возрастает на промежутке: А). [ 1; 4 ] Б). [ -1; 4 ] В). Х >3 Г). Х < -3

10. При каких х значения функции у = х2 +3 [ у = х2 + 12 ] не больше 28 А).[-5; 5 ] Б). [-5; 4 ] В). [-4; 4 ] Г). ( -4; 4 )

№ Задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I вариант

В

Б

А

А

В

А

Б

Б

А,в

А

I I вариант

Б

А

Б

В

Г

Б

В

В

Б,г

В

Самопроверка теста .Оценка «5» ставится за 10, 9 верно решённых заданий; оценка «4» ставится за 7, 8 верно решённых заданий, оценка «3» - за 5, 6 верно решённых заданий, оценка «2» ставится, если выполнено меньше пяти заданий.

Задачи-исследования

1). График какой из функций симметричен графику функции у = 0,5х2 +х – 4 А).у = -0,5х2 + х – 4 Б). У = -0,5х2 – х + 4 В). У = 0,5х – х + 4 Г). У = 0,5х2 – х - 4

2). Какая из парабол самая «крутая»? Самая «пологая»? А). У = 0,3х2; Б). У = 10х2 ; В). У =8х2 ; у = 0,1х2 .

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определение квадратичной функции.

2. Сформулируйте свойства квадратичной функции у = ах2 а) при а > 0 б). При а < 0

3. Как из графика у = ах2 можно получить график функции А).У = ах2 + n Б). У = а(х – m)2 В). У = а(х – m)2 + n ?

4. Как построить график функции у = ах2 + bх + с?