Презентация на тему «Квадратичная функция, ее график и свойства»

Квадратичная функция, ее график и свойства

«Трудное можно сделать легким, легкое привычным, привычное приятным!»

Творческое название проекта: «Портрет» функции

Основополагающий вопрос: «В чем загадка «портрета» квадратичной функции?» Проблемный вопрос: «Как меняется «портрет» квадратичной функции в зависимости от формулы , задающей функцию?» Где в жизни применяется квадратичная функция?

Задачи проекта:

1.Обобщение знаний по теме «Квадратичная функция». 2.Применение свойств функции при решении неравенств второй степени. 3.Выяснение роли квадратичной функции в окружающей нас жизни.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать

формулой вида y=ax?+bx+c, где х - независимая переменная, a, b и с -некоторые числа (причём а?0).

Например: у = 5х?+6х+3, у = -7х?+8х-2, у = 0,8х?+5, у = 0,75х?-8х, у = -12х? квадратичные функции

У =2х?+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены

вверх (т.к. а=2, а>0). У = -7х?-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а<0).

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх(если а>0) или вниз (если а<0).

У 0 х

У 0 х

Алгоритм построения графика

1.Определить координату вершины параболы по формулам: 2. Отметить эту точку на координатной плоскости. 3.Через вершину параболы начертить ось симметрии параболы 4.Найти нули функции и 0тметить их на числовой прямой 5.Найти координаты двух дополнительных точек и симметричных им 6.Провести кривую параболы , учитывая направление ветвей параболы.

График функции y = a x ,

2

При a=1

При a= -1

y

x

1 2 3 4 5 6

0

9

4

1

-6 -5-4-3-2-1

-4

-9

(4;5)

У=2(х-4)? +5

У=-6(х-1)?

(1;0)

У = -х?+12

(0;12)

У= х?+4

(0;4)

(-7;-9)

У= (х+7)? - 9

(0;0)

У=6 х?

Координаты вершины параболы, записанной в виде У=а(х-n)? +m равны (-n ; m )

График функции у=2х

+4х-6, и его свойства

График функции у=2х

+4х-6

1. A=2 ветви вверх

У

2. Вершина (-1;-8)

10

3.Ось симметрии графика Х = -1

4.Пересечение с осью ОХ

5.Дополнительные точки:

Х

2х2+4х-6=0

Х1=1; х2=-3

1

-1

1

2

3

-4

-3

-2

-2

-6

-8

Свойства функции у=2х

+4х-6

У

1. D(y)= R

10

2. У=0, 2х?+4х-6=0 если х= -1; -8

3. У>0, если х

У<0, если х

4. У?, если х

У?, если х

5. Унаим= -8, если х= -1

Х

Унаиб – не существует.

6. Е(y) =

1

-1

1

2

3

-4

-3

-2

-2

-6

-8

Преобразование графика квадратичной функции

1.Построение графика функции у=х2+m перемещением у=х2 в одной системе координат

2.Построение графика функции у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной системе координат.

У=х2+m, m>0 например m=5

У=х2+5

У=х2

У

m=5

Х

1

0

1

У=х2+m, m<0

Например m= - 5

У=х2

У=х2-5

У

Х

1

0

1

m = - 5

2.Построение графика функции у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной

системе координат.

У=(х+n)2, n>0

У=х2

У=(х+6)2, n=6>0

У

Х

1

0

n

1

-6

У=(х-n)2, n<0

У=(х-6)2, n= -6<0

У

Х

1

n

0

6

1

Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих

видов: 1) ах2+bx+c>0; 2) ах2+bx+c<0; 3) ах2+bx+c?0; 4) ах2+bx+c?0.

Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая- нуль, называется неравенством второй степени.

Примеры неравенств второй степени:

1) 6х 2-13х>0; 2) x 2-3x-14>0; 3) (5+x)(x-4)>7; 4) 8x2 >0; 5) (x-5)2 -25>0;

1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0) 2. Рассмотрите

функцию y=ax2+bx+c 3. Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0; х1и х2 найдите, решая уравнение ax2+bx+c=0) 5. Схематически постройте график функции y=ax2+bx+c 6. Выделите часть параболы, для которой y<0 (y>0) 7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y<0 (y>0) 8. Запишите ответ в виде промежутков

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

Пример решения неравенства

1.5х2+9х-2<0 2.Рассмотрим функцию y=5х2+9х-2 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х2+9х-2=0 х1=-2; х2= 5,6,7 8. хЄ(-2; )

-2

Решу неравенство 1, и неравенство 2:

В таблице 1 находится верное решение неравенства 1, в таблице 2 – верное решение неравенства 2:

А

В

А

В

С

d

С

d

1.

2.

Таблица 2

Таблица 1

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение

неравенства 2:

А

В

А

В

С

d

С

d

1.

2.

Таблица 2

Таблица 1

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение

неравенства 2:

А

В

А

В

С

d

С

d

1.

2.

Таблица 1

Таблица 2

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2 -

решение неравенства 2:

А

В

А

В

С

d

С

d

1.

2.

Таблица 1

Таблица 2

Где в жизни применяется квадратичная функция

Примерhttp://files.School-collection.Edu.Ru/dlrstore/2e7210fb-017a-4d37-b413-5895ed1baec2/a01.Swf

При работе над проектом мне удалось систематизировать знания о

свойствах и графиках квадратичной функции и применении квадратичной функции в жизни . Математика- это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее богатую пищу для ума. Свойства квадратичной функции лежат в основе решения квадратных неравенств. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью V0 V, находится в момент времени t на расстоянии s(t)=-q/2*t2+ V0 t от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести); Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом. Этим пользуются в оборонной промышленности. V0

Рефлексия

Работая над проектом я 1.Обобщила знания по теме «Квадратичная функция, ее свойства и график». 2.Рассмотрела применение свойств функции при решении неравенств второй степени. 3.Выясненила роль квадратичной функции в окружающей нас жизни. 4.Для создания презентации использовала интернет ресурсы. 5.Опыт работы с единой коллекцией цифровых образовательных ресурсов помог мне в решении всех учебных вопросов по теме «Квадратичная функция, ее свойства и график».