Квадратичная функция, её график и свойства

Квадратичная функция, её график и свойства

Обзорный материал. © Калачёва Роза Владимировна, 2009

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ y = ax2 +bx +c И ЕЁ ГРАФИК

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у =ax2+bx+c, где х—независимая переменная, a, b и c- некоторые числа, причём a?0.

Чтобы построить график квадратичной функции (параболу), нужно: Найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости. Построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе. Соединить отмеченные точки плавной линией.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ у = -х2+2х+8

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты хв и ув вершины этой параболы: хв =-b/2a=-(2)/2·(-1)=1; y = -12+2·1+8=9. Отметим эту точку (1;9) в координатной плоскости.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ у = -х2+2х+8 (продолжение)

Построим ещё несколько точек, принадлежащих параболе: х -3 -2 -1 0 2 3 4 5 у -7 0 5 8 8 5 0 -7 Прямая х = 1 - ось симметрии параболы.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ у = -х2+2х+8 (ОКОНЧАНИЕ)

Соединим отмеченные точки плавной линией.

Квадратичная функция y = ax2 +bx+c

Нули функции: при у=0 х=4 и х= -2. Функция положительна у>0 в промежутке (-2; 4) и отрицательна у<0 в промежутках (-?;-2) и (4;+?). Функция возрастает в промежутке (-?;1] и убывает в промежутке [1;+?). Ось симметрии - х=1.

Свойства функции y = ax2 при a>0

Если х=0, то у=0. График функции проходит через начало координат. Если х?0, то у>0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

Свойства функции y = ax2 при a>0

Противоположным значениям аргумента (х) соответствуют равные значения функции (у). График функции симметричен относительно оси у.

Промежутки убывания и возрастания функции y = ax2

Функция убывает в промежутке (-?; 0] («скатываемся с горки») и возрастает в промежутке [0; +?) («лезем в горку). Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при х=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+?)

Чтение графика

1) По графику квадратичной функции y=f(x), изображённому на рисунке найдите: значение у при х=4; Ответ: при х=4 у=-5; 2) значения х, при которых у=-5; Ответ: при у=-5 х=0 и 4 ; 3) промежутки возрастания и убывания функции; Ответ: функция убывает в интервале (-?;2], возрастает-[2; +?).