Презентация на тему «Квадратичная функция и её график»

Квадратичная функция и её график

(Обобщение темы)

Презентация учителя математики Гимназии г.Фрязино Борисовой Н.И.

Па-ра-па-ра-парадуемся на своем веку гиперболе, параболе, а также эллипсу…

Цели проекта: Обобщение материала по теме

Закрепление навыков построения графиков. Активизация мыслительной деятельности учащихся. Формирование у учащихся умений обобщения информации, ее уточнения и анализа. Создание наглядного представления о графическом изображении КВП на плоскости. Расширение представлений о разнообразии КВП.

Впервые с понятием функции учащиеся встречаются в курсе алгебры 7

класса. Первым представителем КВП(кривых второго порядка) является функция у=х2- простейшая квадратичная функция у которой а=1, b=c=0. Ее графиком является ПАРАБОЛА, проходящая через начало координат, симметрично относительно оси ОY, расположенная в первой и второй четвертях. Областью определения функции является множество действительных чисел, т.е. числовой промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности, а областью значений функции служит множество положительных чисел, включая число нуль. Для построения графика используются координаты нескольких точек, включая начало координат (координаты вершины и симметричных точек).

Задание первое: Укажите координаты выделенных на графике точек

Занесите их в таблицу в порядке возрастания значений абсцисс. В заготовленных заранее в тетрадях системах координат отметьте заданные точки. Используя шаблоны у=х2 проведите параболу.

Y=x2

Y=2x2

Y=1/2x2

a=1

a=1/2

a=2

Посмотрим как выглядит график функции y=x2 при а<1. Вопрос: Что происходит с графиком у=х2 при a<1?

Далее идет изучение более сложных квадратичных функции вида y=ax2(a>0). Рассмотрим поведение графика у=х2 при изменении а=1 на а=2.(обобщенный случай a>1). Вопрос: Что происходит с графиком y=x2 при a>1?

У=х2 а=1

У=16х2 а=16

У=8х2 а=8

У=2х2 а=2

У=х2 а=1

У=1/2х2 а=1/2

y=1/16x2 a=1/16

y=1/8x2 a=1/8

y=x2

y=-x2

Свойства функции у=ах2 при а>0

Если х=0, у=… График функции проходит через… Если х<>0, то у… График функции расположен… Противоположным значениям аргумента соответствуют… значения функции. Функция убывает в промежутке … и возрастает в промежутке… Наименьшее значение, равное… , функция принимает при х=… , наибольшего значения функция … Областью определения функции является промежуток… Областью значений функции является промежуток…

Свойства функции у=ах2 при а<0

Если х=0, у=0. График функции проходит через начало координат. Если х<>0, то у<0. График функции расположен в нижней полуплоскости. Противоположным значениям аргумента соответствую равные значения функции. Функция возрастает в промежутке (-;0] и убывает в промежутке [0;+) Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х=0 , наименьшего значения функция не имеет. Областью определения функции является промежуток (-,+). Областью значений функции является промежуток (-;0).

Графики функции y=ax2+n и y=a(x-m)2

Задание: Вписать в пустые клетки буквы, обозначающие графики, в

соответствии с указанными функциями.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=ax2+bx+c

Найти координаты вершины параболы и отметить ее координатной плоскости. Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе. Соединить отмеченные точки плавной линией.

Рассмотрим пример построения графика функции y=2x2-4x+1

y=2x2-4x+1 a=2 b=-4 c=1

Y

X

E

C

B

D

1

-1

-1

A

Найдем координаты вершин А x=-b/2a=4/2*2=1. y=2*12-4*1+1=-1. A(1;-1)

2. Ищем координаты точек B(0;1) и D(2;1) C(-1;7) и E(3;7), симметричных относительно прямой, параллельной оси OY, проходящей через вершину А(1;-1).

3. Проводим плавную кривую-параболу через отмеченные точки.

B

A

D

C

E

X

-1

0

1

2

3

Y

7

1

-1

1

7

Кривые второго порядка

Алгебраическим уравнением второй степени называется всякое уравнение вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, в котором по крайней мере одна из величин А,В,С не равна нулю.

x2+y2=R2

К ним относятся: Окружность

x2+y2=R2

Эллипс

Х2 у2

+

=1

А2

b2

Х2 у2

+

=1

А2

b2

Если окружность растянуть вдоль оси ОХ, сохранив размеры по оси ОУ неизменными, то получим новую кривую, называемую эллипсом.

Х2-у2=0

Х2-у2=1

2.Уравнение же х2-у2=1 задает на плоскости равностороннюю гиперболу.

Уравнение х2-у2=0 задает множество точек на плоскости, составляющих две биссектрисы координатных углов.

Замечание

Если возьмем уравнение x2+y2+4=0, то есть

x2+y2=-4, то окажется, что ни одной точки на плоскости, удовлетворяющей данному уравнению нет т.к. сумма квадратов не может быть числом отрицательным. В этом случае говорят, что данное уравнение изображается мнимой кривой.

Используемая литература: АЛГЕБРА учебник для 9 класса под редакцией С

А.Теляковского. Справочник по высшей математике. П.Ф.Фильчикова. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Г.Д.Ким, Ильин.