Презентация на тему «Квадратное уравнение и его корни»

Квадратное уравнение и его корни

Учитель математики Иванисова З.А.

Знать: определение квадратного уравнения, различные способы решения

квадратных уравнений Уметь: верно и рационально решать квадратные уравнения.

a x2 + b x + c = 0

Квадратным уравнением называется уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ? 0.

Первый коэффициент

Второй коэффициент

Свободный член

Классификация

Квадратные уравнения.

Неполное

Приведённое x2+ p x + q = 0

c = 0; a x2 + b x = 0

b = 0; c = 0; a x2 = 0

b = 0; a x2 + c = 0

Полное а х2 + в х + с = 0

Ax?+bx+c=0, а,b, c-заданные числа, а

0, x-переменная.

Полное квадратное уравнение

А - первый коэффициент, в - второй коэффициент, с - свободный член.

Корни квадратного уравнения

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок

Значение буквы проверить несложно, Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значение зовите тотчас. О. Севастьянова

Девиз урока

Научился сам - научи другого.

Кроссворд

1. Уравнение вида ах?+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1. 3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0. 10. «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ответы к кроссворду:

1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

История квадратных уравнений

Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии. Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Какие ученые – математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами решения?

Математическое «Поле чудес»

А

Д

И

Н

О

Т

Ф

Е

3х2 – 2х – 5 = 0

1. Какое уравнение можно решать извлечением квадратных корней?

Х2=5

2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?

7х2 + 14х = 0

3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двухчлена?

Х2 + 5х + 4 = 0

4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней?

Х2 + 4х + 4 = 0

5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент?

Х2 - 4 = 0

6. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета?

2х2 - 11х + 5 = 0

7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?

Х2 + 2х = х2 + 6

Самостоятельная работа Критерии оценки: Оценка «3» -5-6 уравнений;

Оценка «4» -7-8 уравнений; Оценка «5» -9-10 уравнений; Карточка Х2 -9=0 Х2 +6х =0 5 Х2 – 7х =0 5Х2 -8х +3=0 Х2 -7х -8 =0 12- Х2 =11 5х +2 =2-2 Х2 6х+х-1=0 (10х-4) (3х+4)=0 х(х-5) =-4

Тест

1.Если ax?+bx+c=0 – квадратное уравнение, то а называют … коэффициентом, с - … членом. 2.Корни квадратного уравнения ax?+bx+c=0 (a?0) вычисляют по формулам … . 3. Уравнение вида ax?+bx+c=0 (a?0) называют … квадратным уравнением. 4.Квадратное уравнение ax?+bx+c=0 не имеет действительных корней, если b?-4ac … (<,>) 0.

1….уравнением называется уравнение ax?+bx+c=0, где a, b, c-заданные числа, а?0,x-неизвестное. 2.Если ах?+bx+c=0-квадратное уравнение(а?0),то b называют… 3.Корни квадратного уравнения ax?+bx+c=0 вычисляют по формуле… . 4. Квадратное уравнение ax?+bx+c=0 (a?0) имеет два различных действительных корня, если b?-4ас… (<,>) 0.

Ответы к тесту

1.Первым, свободным членом 2. 3.Полным 4<.

1.Квадратным 2.вторым коэффициентом 3. 4.>

Решение квадратных уравнений

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным.» Паскаль В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом: Каждый получает один из 7 лепестков. Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим цветом. Сумма ответов на лепестках зеленого цвета соответствует первой букве имени ученого, Светло-коричневого – второй букве, голубого – третьей букве, оранжевого - четвертой букве, розового – пятой букве, бирюзового – шестой букве, сиреневого – седьмой букве. На табло записаны буквы и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Группа учащихся с лепестками одного цвета называет свой ответ и на табло находит соответствующую букву. В результате на доске вывешивается по одной букве и получается имя ученого Б А С Х А Р К 2 7 3 -5 0 1 2/7 6

Творческое задание Вот одна из задач индийского математика

llв. Бхаскары Составьте к стихотворению уравнение и упростите его:

Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекаясь. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась. А 12 по лианам..... Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

"

Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Алгоритм решения квадратного уравнения Выполнить тождественные

преобразования: перенесение выражения из правой части в левую, меняя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и то же число; применение тождеств сокращенного умножения, приведение подобных членов, запись уравнения в стандартном виде. 2) Выделить в уравнении коэффициенты. 3) Вычислить дискриминант. Если D > 0, то вычислить корни по общей формуле Если D = 0, то вычислить корни по общей формуле Если D ‹ 0, то корней нет

Решите уравнение по алгоритму:

4х2-10=4х-2х^2

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Ах?+вх+с=0

Если D<0, то

Если D=0, то

Если D>0, то

Уравнение не имеет корней

1 корень

2 корня

Определить коэффициенты а,в,с

Вычислить дискриминант D=в?-4ас

Решение квадратных уравнений с параметром Решите относительно х

уравнение: х2 –ах =0 2. Найдите значение m, при котором квадратное уравнение 3х2 -2 mх-m+6=0, имеет один корень

Работа с учебником

Вычислите дискриминант уравнения 3х2 – 18х-21=0. Это и есть номер в учебнике

Франсуа Виет

Задания по выбору

Х

Х

Х

Х

Составьте квадратное уравнение по данным их корней: А) 2 и -3 Б) 2 - ?2 и 2 + ?2 В) два положительных корня Г) один отрицательный и один положительный корень Решите тест: Детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 4 м и 5 м обрамлен дорожкой одинаковой ширины. Бассейн вместе с дорожкой занимает площадь, равную 56 м2. Какова ширина дорожки? Выберите уравнение соответствующее условию задачи А) (4+х) (5+х) =56 Б) 4(5+2х) =56 В) 5(4 +2х)=56 Г) (4+2х) (5 +2х) =56

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова. В числителе c, в знаменателе a, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь, что за беда, В числителе b, в знаменателе a.

Бассейн

Нестандартная задача

Участники совещания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

Домашнее задание

Для сильных учащихся, решить всеми возможными способами уравнение 3х2 + 5 = 6х + 2х2 Остальные ученики решают уравнение х2 -8х +7 =0, всеми возможными или хотя бы одним способом. Всем: составить квадратное уравнение: х1 =2, х2 =5, или х1 =1 +?2, х2 =1 -?2,

Подведение итогов урока

Вопросы классу: Ребята! Что мы сегодня узнали на уроке? В какой момент Вам было трудно? Почему? Что больше всего запомнилось и понравилось? Почему?

Запомнили корни квадратного уравнения

Спасибо за работу на уроке