Презентация на тему «Логарифмы»

Логарифмы

Повторение темы. 10 класс Учитель математики Ковальчук Л.Л. 2011

План:

Определение. Свойства. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Определение логарифма:

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a?1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. Основное логарифмическое тождество: alogab= b, где b>0, a>0 Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.

Свойства логарифмов:

Loga(bc)=logab+ logac loga (b/с)= logab-logac logabr=rlogab logab=logcb/logca logab=1/logba alogbc= clogba logarb=1/r logab alogab= b

Десятичные и натуральные логарифмы:

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb

Логарифмическая функция и её график:

y

y

a

a

1

1

1

1

1

1

y=logax, a>1

-

-

1/a

1/a

x

x

y=logax, 0<a<1

Логарифмическая функция

y=logax

Свойства: Область определения логарифмической функции -множество всех положительных чисел Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел. Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0<a<1 Если a>1, то функция y=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1. Если 0<a<1, то функция y=logax принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1. Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где a>0, a?1, взаимно обратны.

Логарифмические уравнения

Решить уравнение: Log2(x+1)+ Log2(x+3)=3 Решение: Используя свойство логарифма, получаем: Log2(x+1)(x+3)=3 Из этого равенства по определению логарифма получаем: (x+1)(x+3)=8. Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x2+4x-5=0, откуда x1=1, x2=-5 При X2=-5 числа x+1<0 и x+3<0, следовательно x=-5 не является корнем уравнения. Ответ. X=1

Решение систем:

Решение: Из первого уравнения выразим x через y: log2 x/y=log22, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y2 +2y – 12=0, откуда y1=3/2, y2=-2. Найдем значения x: x1=3, x2=-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение. Ответ. (3, 3/2).

log2x - log2y = 1, 4y2 +x - 12= 0.

Логарифмические неравенства:

x

XXXX

Решить неравенство: log2(x-3) + log2(x-2) ? 1 Решение: О.Д.З. X>3. Используя свойства логарифма, получаем: log2(x-3) (x-2) ? log22. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x>3 неравенство log2(x-3) (x-2) ? log22 (x-3)(x-2)?2. x?-5x+4?0. (x-1)(x-4)?0. /////////////// 1 3 4