Логарифм
<<  Логарифмы Логарифмы  >>
Логарифмы
Логарифмы
Как работать с пособием
Как работать с пособием
Логарифм числа
Логарифм числа
Логарифм числа
Логарифм числа
Определение логарифма
Определение логарифма
Определение логарифма можно записать в виде формулы
Определение логарифма можно записать в виде формулы
Свойства логарифмов
Свойства логарифмов
Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по
Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Логарифмирование –это преобразование, при котором выражение с
Логарифмирование –это преобразование, при котором выражение с
Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию
Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию
Проверь себя
Проверь себя
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
Функция у=lоgа х, где а –заданное число, а >0, а
Функция у=lоgа х, где а –заданное число, а >0, а
Область определения функции – множество всех положительных чисел (х>0)
Область определения функции – множество всех положительных чисел (х>0)
Графики функций у=ax и у=loga x симметричны относительно пямой у=х
Графики функций у=ax и у=loga x симметричны относительно пямой у=х
Примеры применения свойств логарифмической функции
Примеры применения свойств логарифмической функции
Решим методом интервалов неравенство (2х+3) >0 5-7х - + - -3/2 5/7
Решим методом интервалов неравенство (2х+3) >0 5-7х - + - -3/2 5/7
3. Сравнить числа: а) lоg5 6 и lоg5 7; б) lоg1/3 6 и lоg1/3 7; в) lоg3
3. Сравнить числа: а) lоg5 6 и lоg5 7; б) lоg1/3 6 и lоg1/3 7; в) lоg3
Проверь себя
Проверь себя
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,
Способы решения
Способы решения
2. Метод потенцирования: если, loga f(х)=logag(х), то f(х)=g(х),
2. Метод потенцирования: если, loga f(х)=logag(х), то f(х)=g(х),
Решите уравнение: log62 х + log6 х -2 = 0 х >0 заменим log6 х = t t 2
Решите уравнение: log62 х + log6 х -2 = 0 х >0 заменим log6 х = t t 2
4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения
4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения
5. Метод приведения логарифмов к одному основанию
5. Метод приведения логарифмов к одному основанию
6. Решить графически уравнение: а) lоg2 х= -х+1; б) lоg0,5 х= х 2
6. Решить графически уравнение: а) lоg2 х= -х+1; б) lоg0,5 х= х 2
Задания для самопроверки
Задания для самопроверки
Ответы
Ответы
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
Простейшие логарифмические неравенства
Простейшие логарифмические неравенства
Алгоритм решения логарифмического неравенства
Алгоритм решения логарифмического неравенства
log3( х+2)
log3( х+2)
Пример 2
Пример 2
Тесты
Тесты
Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих
Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих
Логарифмы в природе
Логарифмы в природе
Музыка логарифмов
Музыка логарифмов
“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему
“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему
Литература
Литература

Презентация: «Логарифмы». Автор: . Файл: «Логарифмы.ppt». Размер zip-архива: 1901 КБ.

Логарифмы

содержание презентации «Логарифмы.ppt»
СлайдТекст
1 Логарифмы

Логарифмы

Электронное пособие по теме:

Автор: преподаватель ФГОУ СПО «Алатырский сельскохозяйственный техникум» Н.А. Фирсова

1

2 Как работать с пособием

Как работать с пособием

Тема разбита на три основных раздела, в каждом из которых выделяются подразделы: логарифм числа (Р1) логарифмическая функция (Р2) логарифмические уравнения и неравенства (Р3) Перемещение по разделам и подразделам, а также обращение к тестам и программе Graphics32а происходит по гиперссылкам. Условные обозначения: возвращение в начало темы «Логарифмы» возвращение в начало соответствующего раздела Тест переход к тестам График переход к программе построения графика

Т

Р1

2

3 Логарифм числа

Логарифм числа

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения и неравенства

Тесты

Это интересно…

3

4 Логарифм числа

Логарифм числа

Определение логарифма Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы Примеры и задачи Проверь себя

4

5 Определение логарифма

Определение логарифма

Пример: представить число 2 в виде логарифма по основанию 3. 2= lоg3 9

5

6 Определение логарифма можно записать в виде формулы

Определение логарифма можно записать в виде формулы

Которую обычно называют основным логарифмическим тождеством.

6

7 Свойства логарифмов

Свойства логарифмов

Формулы Пример lоgа а=1 lоg3 3=1 lоgа 1=0 lоg4 1=0 lоgа a r=r lоg5 5 2=2 lоgа b r=rlоgа b lоg2 3 4=4lоg2 3 lоgа b +lоgа c=lоgа (ab) lоg2 3+lоg2 5= lоg2 15 lоgа b -lоgа c=lоgа (a/b) lоg2 3 - lоg2 5= lоg2 0,6 lоgab=lоgc b lоg25= lоg3 5 lоgcb lоg32 lоgab =__1___ lоg23= __1___ lоgbа lоg32

7

8 Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по

Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по

основанию 10 и пишут lоg10 x= lgx lg 10=1 lg 0,1=-1 lg2 100=2 lg 0,01=-2 lg 10000=4 lg 0,001=-3 Если основание логарифма е, то логарифм называется натуральным: Пишут lnx вместо lоgа x. lоgeb= ln b

8

9 Вычислить

Вычислить

Lоg2 16 = lоg2 (1/8) = lоg1/3 (1/9)= lоg5 125= lоg0,5 (1/8)= lоg1/2 (64)= lоg2 (2)= lоg5 1=

4 -3 2 3 3 -6 1 0

9

10 Вычислить

Вычислить

2 lоg2 (1/8) = 10 lg 8 = 0,3 2lоg0,3 6 = 4 lоg2 3 = 10 2-lg 5 = 2 -2lоg2 7 = lоg2 lоg5 625=

1/8 8 36 9 20 1/49 2

10

11 Логарифмирование –это преобразование, при котором выражение с

Логарифмирование –это преобразование, при котором выражение с

переменными приводится к сумме или разности выражений переменных.

Прологарифмировать алгебраическое выражение: х = ab3 c2

lg ab3 c2

=lg(ab3 )-lg (c2)= lg(a)+ 3lg(b)-2lg(c)

11

12 Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию

Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию

Перейти к алгебраическому выражению

Lgх= lga- 0,5lgb+2lgc=

=lga-lgb0,5+lgc2=lgac2-lg?b==lg(ac2/ ?b)

Х= ac2/ ?b

12

13 Проверь себя

Проверь себя

Знаешь ли ты определение логарифма, основное логарифмическое тождество, логарифм произведения, логарифм частного формулу перехода к другого основанию? Представьте число 2 в виде логарифма по основанию 3. Тест «Логарифм числа»

13

14 Логарифмическая функция

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция Связь логарифмической и показательной функции Примеры применения свойств логарифмической функции Проверь себя

14

15 Функция у=lоgа х, где а –заданное число, а >0, а

Функция у=lоgа х, где а –заданное число, а >0, а

1, называется логарифмической функцией.

15

16 Область определения функции – множество всех положительных чисел (х>0)

Область определения функции – множество всех положительных чисел (х>0)

2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3.Если а >1, то функция является возрастающей.

Область определения функции – множество всех положительных чисел . 2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3.Если 0<а< 1, то функция является убывающей.

16

17 Графики функций у=ax и у=loga x симметричны относительно пямой у=х

Графики функций у=ax и у=loga x симметричны относительно пямой у=х

В одной системе координат постройте графики функций у=(1/2)x и у=log1/2 x. Перечислите свойства функций.

График

17

18 Примеры применения свойств логарифмической функции

Примеры применения свойств логарифмической функции

1. Найдем область определения функции У= lоg8 (4-5х). Область определения логарифмической функции- множество положительных чисел. Заданная функция определена для х, при которых 4-5х >0. т.е. при х <0,8. Область определения функции – интервал (-?;0,8)

18

19 Решим методом интервалов неравенство (2х+3) >0 5-7х - + - -3/2 5/7

Решим методом интервалов неравенство (2х+3) >0 5-7х - + - -3/2 5/7

Область определения (-3/2; 5/7)

2. Найдем область определения функции У= lоg7 (2х+3) 5-7х

19

20 3. Сравнить числа: а) lоg5 6 и lоg5 7; б) lоg1/3 6 и lоg1/3 7; в) lоg3

3. Сравнить числа: а) lоg5 6 и lоg5 7; б) lоg1/3 6 и lоg1/3 7; в) lоg3

10 и lоg4 12. а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 6 <7,то lоg5 6 < lоg5 7 б) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 6 <7,то lоg1/3 6 >lоg1/3 7 в) Т. к. lоg3 10 >2 , а lоg4 12 <2, то lоg3 10 > lоg4 12.

20

21 Проверь себя

Проверь себя

Верно ли, что логарифмическая функция : определена при х>0; является четной; не имеет экстремумов; имеет график, проходящей через точку(0;1); принимает все действительные значения? При каком условии логарифмическая функция возрастает(убывает)? Тест «Логарифмическая функция»

21

22 Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Задачи для самопроверки

22

23 Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,

называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение loga х = b (а > 0, а? 1, b>0 ) Решение: х = аb. Например, lоg2 х= 3 Х=23 .

23

24 Способы решения

Способы решения

1.Решение уравнений на основании определения логарифма Например, lоg3 (х-2)= -1 Х-2= 3-1 Х=2+1/3 Х=7/3.

24

25 2. Метод потенцирования: если, loga f(х)=logag(х), то f(х)=g(х),

2. Метод потенцирования: если, loga f(х)=logag(х), то f(х)=g(х),

f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а? 1.

Решите уравнения: lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Уравнение имеет смысл, если: (х2-6х+9) >0, х? 3, х-7 >0; х >7; х >7. С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду lg ((х-3)/(х-7))2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7))2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, или (х-3)/(х-7)= - 3 , х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9

25

26 Решите уравнение: log62 х + log6 х -2 = 0 х >0 заменим log6 х = t t 2

Решите уравнение: log62 х + log6 х -2 = 0 х >0 заменим log6 х = t t 2

+ t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -2. log6 х = 1 , х = 6 log6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает, что 6 и 1/36 являются корнями . Ответ : 6; 1/36.

3.Метод введение новой переменной.

26

27 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Решите уравнение: Х log3x2 = ЗХ, прологарифмируем уравнение по основанию 3 Получим log3 Х log3x2 = log3 (3х) Т.к. lоgа b r=rlоgа b , то log3 х2 log3 х = log3 3х, log3 х log3 х = log3 3+ log3 х, 2 log32 х = log3 х +1, 2 log32 х - log3 х -1=0, заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2 log3 х = 1 , х=3, log3 х = -1/ 2 , х= 1/?3. Ответ: 3 ; 1/?3.

27

28 5. Метод приведения логарифмов к одному основанию

5. Метод приведения логарифмов к одному основанию

Решить уравнение: log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1, Уравнение имеет смысл, если: 37-12х >0, х< 37/12, 7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х? 1; х? 3; х? 3; log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1, ? log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) , log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 , 37-12х= 49 -28х +4х2 , 4х2-16х +12 =0, х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень . Проверкой убеждаемся , что х=1 корень уравнения.

28

29 6. Решить графически уравнение: а) lоg2 х= -х+1; б) lоg0,5 х= х 2

6. Решить графически уравнение: а) lоg2 х= -х+1; б) lоg0,5 х= х 2

б) Решите графически уравнение lоg0,5 х= х 2

а) Построим графики функций у=lоg2 х и у =-х+1 в одной системе координат. Графики пересекаются в точке с абсциссой х=1. Проверка показывает, что х=1 является корнем уравнения. Ответ: х=1.

График

29

30 Задания для самопроверки

Задания для самопроверки

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Тест «Логарифмические уравнения и неравенства»

Ответы

log2(x-1) – 2 = log2(3x-7) – log2(x + 1)

30

31 Ответы

Ответы

1.

1,2

2.

6,2

3.

2

4.

4;76

5.

3

6.

3;9

7.

2;8

31

32 Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшие неравенства lоgа х > c

Lоgа х < c

32

33 Простейшие логарифмические неравенства

Простейшие логарифмические неравенства

Пример 1. lоg2 х > 3 х >2 3 (по определению логарифма). Т. к. функция у=log2х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х >8

Пример 2. lоg1/2х > 3 х >0 ( О.Д.З) x < (1/2)3 ( знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется, т. к функция у=log1/2х убывает на всей области определения). 0 < х < 1/8

33

34 Алгоритм решения логарифмического неравенства

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Найти (О.Д.З. ) область допустимых значений (подлогарифмическое выражение больше нуля). Левую и правую чисти неравенства в виде логарифмов по одному и тону же основанию: lоgаf(x) > lоga g(x) 3. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция. (если а > 1, то возрастающая; если 0 < а < 1, то убывающая). Перейти к более простому неравенству (подлогарифми- ческических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает: lоgаf(x) > lоga g(x) если а > 1 , то если 0 < а < 1 , то f(x) > g(x) f(x) < g(x)

34

35 log3( х+2)

log3( х+2)

3 О.Д.З: ( х+2) >0 , Х >-2 ? log3 27 Функция у=log3 х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х+2?27 х?25 -2 25 Ответ: ( -2;25]

Примеры решения логарифмических неравенств Пример 1.

35

36 Пример 2

Пример 2

lоg0,5(x-1) > lоg0,5(3x+2) О.Д.З: х-1>0, x>1 , 3Х+2 >0; x>-2/3. Следовательно, x>1 Функция У=log0,5 х убывает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению меняется. x-1 < 3x+2 x-3х < 1+2 -2х< 3 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположенный) х>-1,5 Ответ: ( 1; ?)

-1,5

1

36

37 Тесты

Тесты

Тест №1 «Логарифм числа» Тест № 2 «Логарифмическая функция» Тест №3 «Уравнения и неравенства»

37

38 Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих

Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих

потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Основная идея логарифмов лежит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий: ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… п …… ?? 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 2? Эти строки позволяют упрощать вычисления: сводить умножение к сложению, деление к вычитанию, возведение в степень к умножению, извлечение корня к делению. Например, что бы перемножить числа нижнего ряда 8 и 64, мы складываем числа верхнего ряда 3 и 6, находим в нижнем ряду ответ под цифрой 9. Объяснение кроется в свойствах степеней: 8 · 64 = 2? · 2? = 2??? = 2? = 512. Аналогично объясняется и упрощение других вычислений с числами нижнего ряда с помощью чисел верхнего ряда. Числа верхнего ряда и называются логарифмами чисел нижнего ряда.

Изобретением логарифмов мы обязаны Джону Неперу- шотландскому математику. Работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» появилась в 1614 году, а в 1629 году были напечатаны логарифмические таблицы швейцарского математика, астронома и часовщика Иобста Бюрги, которые были написаны еще в 1610 году! Эти ученые, работая параллельно, пришли к похожим результатам!

38

39 Логарифмы в природе

Логарифмы в природе

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Логарифмическую спираль можно увидеть в природе: известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом они растут во всех направлениях. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Что бы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться, причем рост сохраняется так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, а также рога некоторых млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали.

39

40 Музыка логарифмов

Музыка логарифмов

Музыканты, играя по клавишам современного рояля, играют, собственно говоря, на логарифмах. Lg Npm=m+p/12 Npm—номер клавиши m—номер октавы P—номер звука в октаве, Делённый на 12

Сходным образом оценивается и громкость шума , единицами измерения которого являются белы и децибелы. Оказывается, что громкость шума , выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Для сравнения: Тихий шелест листьев 1 бел Громкая разговорная речь 6,5 бел Рычание льва 8,7 бел Музыка рок ансамбля 10-12 бел Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для организма. Это согласуется с законом Фехнера: Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

40

41 “Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему

“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему

жизнь” П.С.Лаплас

Яркость звёзд и громкость шума оцениваются одинаковым образом: по логарифмической шкале. Величина звезды - логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, где а =2,5

41

42 Литература

Литература

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. — М.: Наука, 1978. 2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. — Д.: ВАЛ, 1994. 3. Н.В.Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» - М.:Дрофа, 2005 г. 4. Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике» - М.: Высшая школа, 2008. 5. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2004. 6. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2002. 7. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

42

«Логарифмы»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/logarifmy-246050.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды