Логарифмы

Логарифмы

Электронное пособие по теме:

Автор: преподаватель ФГОУ СПО «Алатырский сельскохозяйственный техникум» Н.А. Фирсова

1

Как работать с пособием

Тема разбита на три основных раздела, в каждом из которых выделяются подразделы: логарифм числа (Р1) логарифмическая функция (Р2) логарифмические уравнения и неравенства (Р3) Перемещение по разделам и подразделам, а также обращение к тестам и программе Graphics32а происходит по гиперссылкам. Условные обозначения: возвращение в начало темы «Логарифмы» возвращение в начало соответствующего раздела Тест переход к тестам График переход к программе построения графика

Т

Р1

2

Логарифм числа

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения и неравенства

Тесты

Это интересно…

3

Логарифм числа

Определение логарифма Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы Примеры и задачи Проверь себя

4

Определение логарифма

Пример: представить число 2 в виде логарифма по основанию 3. 2= lоg3 9

5

Определение логарифма можно записать в виде формулы

Которую обычно называют основным логарифмическим тождеством.

6

Свойства логарифмов

Формулы Пример lоgа а=1 lоg3 3=1 lоgа 1=0 lоg4 1=0 lоgа a r=r lоg5 5 2=2 lоgа b r=rlоgа b lоg2 3 4=4lоg2 3 lоgа b +lоgа c=lоgа (ab) lоg2 3+lоg2 5= lоg2 15 lоgа b -lоgа c=lоgа (a/b) lоg2 3 - lоg2 5= lоg2 0,6 lоgab=lоgc b lоg25= lоg3 5 lоgcb lоg32 lоgab =__1___ lоg23= __1___ lоgbа lоg32

7

Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по

основанию 10 и пишут lоg10 x= lgx lg 10=1 lg 0,1=-1 lg2 100=2 lg 0,01=-2 lg 10000=4 lg 0,001=-3 Если основание логарифма е, то логарифм называется натуральным: Пишут lnx вместо lоgа x. lоgeb= ln b

8

Вычислить

Lоg2 16 = lоg2 (1/8) = lоg1/3 (1/9)= lоg5 125= lоg0,5 (1/8)= lоg1/2 (64)= lоg2 (2)= lоg5 1=

4 -3 2 3 3 -6 1 0

9

Вычислить

2 lоg2 (1/8) = 10 lg 8 = 0,3 2lоg0,3 6 = 4 lоg2 3 = 10 2-lg 5 = 2 -2lоg2 7 = lоg2 lоg5 625=

1/8 8 36 9 20 1/49 2

10

Логарифмирование –это преобразование, при котором выражение с

переменными приводится к сумме или разности выражений переменных.

Прологарифмировать алгебраическое выражение: х = ab3 c2

lg ab3 c2

=lg(ab3 )-lg (c2)= lg(a)+ 3lg(b)-2lg(c)

11

Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию

Перейти к алгебраическому выражению

Lgх= lga- 0,5lgb+2lgc=

=lga-lgb0,5+lgc2=lgac2-lg?b==lg(ac2/ ?b)

Х= ac2/ ?b

12

Проверь себя

Знаешь ли ты определение логарифма, основное логарифмическое тождество, логарифм произведения, логарифм частного формулу перехода к другого основанию? Представьте число 2 в виде логарифма по основанию 3. Тест «Логарифм числа»

13

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция Связь логарифмической и показательной функции Примеры применения свойств логарифмической функции Проверь себя

14

Функция у=lоgа х, где а –заданное число, а >0, а

1, называется логарифмической функцией.

15

Область определения функции – множество всех положительных чисел (х>0)

2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3.Если а >1, то функция является возрастающей.

Область определения функции – множество всех положительных чисел . 2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3.Если 0<а< 1, то функция является убывающей.

16

Графики функций у=ax и у=loga x симметричны относительно пямой у=х

В одной системе координат постройте графики функций у=(1/2)x и у=log1/2 x. Перечислите свойства функций.

График

17

Примеры применения свойств логарифмической функции

1. Найдем область определения функции У= lоg8 (4-5х). Область определения логарифмической функции- множество положительных чисел. Заданная функция определена для х, при которых 4-5х >0. т.е. при х <0,8. Область определения функции – интервал (-?;0,8)

18

Решим методом интервалов неравенство (2х+3) >0 5-7х - + - -3/2 5/7

Область определения (-3/2; 5/7)

2. Найдем область определения функции У= lоg7 (2х+3) 5-7х

19

3. Сравнить числа: а) lоg5 6 и lоg5 7; б) lоg1/3 6 и lоg1/3 7; в) lоg3

10 и lоg4 12. а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 6 <7,то lоg5 6 < lоg5 7 б) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 6 <7,то lоg1/3 6 >lоg1/3 7 в) Т. к. lоg3 10 >2 , а lоg4 12 <2, то lоg3 10 > lоg4 12.

20

Проверь себя

Верно ли, что логарифмическая функция : определена при х>0; является четной; не имеет экстремумов; имеет график, проходящей через точку(0;1); принимает все действительные значения? При каком условии логарифмическая функция возрастает(убывает)? Тест «Логарифмическая функция»

21

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Задачи для самопроверки

22

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,

называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение loga х = b (а > 0, а? 1, b>0 ) Решение: х = аb. Например, lоg2 х= 3 Х=23 .

23

Способы решения

1.Решение уравнений на основании определения логарифма Например, lоg3 (х-2)= -1 Х-2= 3-1 Х=2+1/3 Х=7/3.

24

2. Метод потенцирования: если, loga f(х)=logag(х), то f(х)=g(х),

f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а? 1.

Решите уравнения: lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Уравнение имеет смысл, если: (х2-6х+9) >0, х? 3, х-7 >0; х >7; х >7. С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду lg ((х-3)/(х-7))2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7))2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, или (х-3)/(х-7)= - 3 , х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9

25

Решите уравнение: log62 х + log6 х -2 = 0 х >0 заменим log6 х = t t 2

+ t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -2. log6 х = 1 , х = 6 log6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает, что 6 и 1/36 являются корнями . Ответ : 6; 1/36.

3.Метод введение новой переменной.

26

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Решите уравнение: Х log3x2 = ЗХ, прологарифмируем уравнение по основанию 3 Получим log3 Х log3x2 = log3 (3х) Т.к. lоgа b r=rlоgа b , то log3 х2 log3 х = log3 3х, log3 х log3 х = log3 3+ log3 х, 2 log32 х = log3 х +1, 2 log32 х - log3 х -1=0, заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2 log3 х = 1 , х=3, log3 х = -1/ 2 , х= 1/?3. Ответ: 3 ; 1/?3.

27

5. Метод приведения логарифмов к одному основанию

Решить уравнение: log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1, Уравнение имеет смысл, если: 37-12х >0, х< 37/12, 7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х? 1; х? 3; х? 3; log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1, ? log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) , log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 , 37-12х= 49 -28х +4х2 , 4х2-16х +12 =0, х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень . Проверкой убеждаемся , что х=1 корень уравнения.

28

6. Решить графически уравнение: а) lоg2 х= -х+1; б) lоg0,5 х= х 2

б) Решите графически уравнение lоg0,5 х= х 2

а) Построим графики функций у=lоg2 х и у =-х+1 в одной системе координат. Графики пересекаются в точке с абсциссой х=1. Проверка показывает, что х=1 является корнем уравнения. Ответ: х=1.

График

29

Задания для самопроверки

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Тест «Логарифмические уравнения и неравенства»

Ответы

log2(x-1) – 2 = log2(3x-7) – log2(x + 1)

30

Ответы

1.

1,2

2.

6,2

3.

2

4.

4;76

5.

3

6.

3;9

7.

2;8

31

Логарифмические неравенства

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшие неравенства lоgа х > c

Lоgа х < c

32

Простейшие логарифмические неравенства

Пример 1. lоg2 х > 3 х >2 3 (по определению логарифма). Т. к. функция у=log2х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х >8

Пример 2. lоg1/2х > 3 х >0 ( О.Д.З) x < (1/2)3 ( знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется, т. к функция у=log1/2х убывает на всей области определения). 0 < х < 1/8

33

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Найти (О.Д.З. ) область допустимых значений (подлогарифмическое выражение больше нуля). Левую и правую чисти неравенства в виде логарифмов по одному и тону же основанию: lоgаf(x) > lоga g(x) 3. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция. (если а > 1, то возрастающая; если 0 < а < 1, то убывающая). Перейти к более простому неравенству (подлогарифми- ческических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает: lоgаf(x) > lоga g(x) если а > 1 , то если 0 < а < 1 , то f(x) > g(x) f(x) < g(x)

34

log3( х+2)

3 О.Д.З: ( х+2) >0 , Х >-2 ? log3 27 Функция у=log3 х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х+2?27 х?25 -2 25 Ответ: ( -2;25]

Примеры решения логарифмических неравенств Пример 1.

35

Пример 2

lоg0,5(x-1) > lоg0,5(3x+2) О.Д.З: х-1>0, x>1 , 3Х+2 >0; x>-2/3. Следовательно, x>1 Функция У=log0,5 х убывает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению меняется. x-1 < 3x+2 x-3х < 1+2 -2х< 3 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположенный) х>-1,5 Ответ: ( 1; ?)

-1,5

1

36

Тесты

Тест №1 «Логарифм числа» Тест № 2 «Логарифмическая функция» Тест №3 «Уравнения и неравенства»

37

Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих

потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Основная идея логарифмов лежит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий: ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …… п …… ?? 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 2? Эти строки позволяют упрощать вычисления: сводить умножение к сложению, деление к вычитанию, возведение в степень к умножению, извлечение корня к делению. Например, что бы перемножить числа нижнего ряда 8 и 64, мы складываем числа верхнего ряда 3 и 6, находим в нижнем ряду ответ под цифрой 9. Объяснение кроется в свойствах степеней: 8 · 64 = 2? · 2? = 2??? = 2? = 512. Аналогично объясняется и упрощение других вычислений с числами нижнего ряда с помощью чисел верхнего ряда. Числа верхнего ряда и называются логарифмами чисел нижнего ряда.

Изобретением логарифмов мы обязаны Джону Неперу- шотландскому математику. Работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» появилась в 1614 году, а в 1629 году были напечатаны логарифмические таблицы швейцарского математика, астронома и часовщика Иобста Бюрги, которые были написаны еще в 1610 году! Эти ученые, работая параллельно, пришли к похожим результатам!

38

Логарифмы в природе

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Логарифмическую спираль можно увидеть в природе: известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом они растут во всех направлениях. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Что бы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться, причем рост сохраняется так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, а также рога некоторых млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали.

39

Музыка логарифмов

Музыканты, играя по клавишам современного рояля, играют, собственно говоря, на логарифмах. Lg Npm=m+p/12 Npm—номер клавиши m—номер октавы P—номер звука в октаве, Делённый на 12

Сходным образом оценивается и громкость шума , единицами измерения которого являются белы и децибелы. Оказывается, что громкость шума , выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Для сравнения: Тихий шелест листьев 1 бел Громкая разговорная речь 6,5 бел Рычание льва 8,7 бел Музыка рок ансамбля 10-12 бел Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для организма. Это согласуется с законом Фехнера: Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

40

“Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему

жизнь” П.С.Лаплас

Яркость звёзд и громкость шума оцениваются одинаковым образом: по логарифмической шкале. Величина звезды - логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, где а =2,5

41

Литература

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. — М.: Наука, 1978. 2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. — Д.: ВАЛ, 1994. 3. Н.В.Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» - М.:Дрофа, 2005 г. 4. Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике» - М.: Высшая школа, 2008. 5. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2004. 6. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2002. 7. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

42