Статистика
<<  Методы статистической обработки данных Социально-экономическая статистика  >>
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Значение
Значение
Реализация метода наименьших квадратов
Реализация метода наименьших квадратов
Упростим систему нормальных уравнений
Упростим систему нормальных уравнений
Значение оценки параметра
Значение оценки параметра
Выражение
Выражение
Характеристики точности уравнения
Характеристики точности уравнения
Характеристики точности уравнения парной регрессии
Характеристики точности уравнения парной регрессии
Дисперсия прогноза
Дисперсия прогноза
Пример применения МНК
Пример применения МНК
Пример применения МНК
Пример применения МНК

Презентация на тему: «Метод наименьших квадратов». Автор: Администратор. Файл: «Метод наименьших квадратов.ppt». Размер zip-архива: 198 КБ.

Метод наименьших квадратов

содержание презентации «Метод наименьших квадратов.ppt»
СлайдТекст
1 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

В математической статистике методы получения наилучшего приближения к исходным данным в виде аппроксимирующей функции получили название регрессионного анализа. Основными задачами регрессионного анализа являются установление зависимости между переменными и оценка (прогноз) значений зависимой переменной. В экономических исследованиях часто заданному значению одной переменной может соответствовать множество значений другой переменной. Другими словами, каждому значению одной переменной соответствует условное распределение другой переменной. Зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует условное математическое ожидание другой называется регрессионной: M(Y|X) = f(X)

2 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

Принятые обозначения:

Уравнение парной регрессии. yt = a0 + a1xt + ut (7.1) Постановка задачи. Дано: выборка наблюдений за поведением переменных yt и xt. Найти: 1. Оценки значений параметров a0 и a1. 2. Оценки точности ?(a0) и ?(a1). 3. Оценка рассеяния случайного возмущения ?u. 4. Оценку точности прогнозирования ?(y(x0)).

Выборка: y1 x1 y2 x2 ………. yn xn

Система уравнений наблюдений. y1 = a0 + a1x1 + u1 yt = a0 + a1x2 + u2 …………………… yn = a0 + a1xn + un

3 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

Идея метода. Пусть имеем выборку из 4-х точек (n=4): P1 =(x1, y1) P2 =(x2, y2) P3 =(x3, y3) P4 =(x4, y4)

На практике мы имеем возможность наблюдать только исходные точки. Предполагаем, что существует теоретическая прямая, которая наилучшим образом проходит через них. Задача: оценить с некоторой точностью, как может проходить эта прямая.

P4

P1

P3

P2

4 Значение

Значение

Метод наименьших квадратов

a0

Y

P4

?

Y

u4

Q4

?0

Любое значение Y можно представить в виде суммы неслучайной величины a0+a1x и случайной величины u. Идея метода заключается в том, чтобы найти такие значения параметров, которые обеспечат минимум суммы квадратов случайных отклонений.

5 Реализация метода наименьших квадратов

Реализация метода наименьших квадратов

Итак, оценки параметров модели парной регрессии согласно МНК будем искать из условия: S=?ui2=?(yi-?0+?1xi)2=min Условиями минимума функции являются равенство нулю первых производных и положительность вторых производных по ?0 и ?1.

(7.2)

Система уравнений (7.2) называется системой нормальных уравнений для вычисления оценок параметров модели (7.1)

При этом:

6 Упростим систему нормальных уравнений

Упростим систему нормальных уравнений

Реализация метода наименьших квадратов

Упростим систему нормальных уравнений (7.2)

(7.3)

Для решения системы (7.3) выразим из первого уравнения ?0, подставим его во второе уравнение.

7 Значение оценки параметра

Значение оценки параметра

Реализация метода наименьших квадратов

Вычислив с помощью (7.5) оценку ?1, с помощью выражения (7.4) получим значение оценки параметра ?0.

Тогда выражение (7.5) можно записать в виде:

(7.6)

8 Выражение

Выражение

Реализация метода наименьших квадратов

Вопрос. Как связано полученное решение со случайными возмущениями?

Подставляя (7.7) в (7.6) получим выражение:

(7.7)

Условие несмещенности оценки параметра ?1

9 Характеристики точности уравнения

Характеристики точности уравнения

Характеристики точности уравнения парной регрессии

Вычислим дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсию прогнозирования эндогенной переменной. 1. Дисперсия параметра ?1

(7.8)

10 Характеристики точности уравнения парной регрессии

Характеристики точности уравнения парной регрессии

Дисперсия параметра ?0

Дисперсия ?2(?1) известна (7.8), необходимо вычислить дисперсию y.

(7.9)

В результате получаем:

(7.10)

11 Дисперсия прогноза

Дисперсия прогноза

Характеристики точности уравнения парной регрессии

Дисперсия прогноза эндогенной переменной.

(7.11)

Ковариации между случайными возмущениями и оценками параметров равны нулю, т.к. эти переменные независимые.

(7.12)

Подставляя в (7.11) (7.10), (7,8) и (7,12), получаем:

(7.13)

12 Пример применения МНК

Пример применения МНК

X-стаж работы сотрудника; Y- часовая оплата труда. Модель: Yt=a0+a1Xt+Ut

?xi=210; ?yi=146.42; ?xi2=2870; ?xiyi=1897.66

13 Пример применения МНК

Пример применения МНК

Графическое отображение результатов

Y=1.63+0.54X

Y+?(Y)

Y-?(Y)

«Метод наименьших квадратов»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/metod-naimenshikh-kvadratov-54403.html
cсылка на страницу

Статистика

17 презентаций о статистике
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Статистика > Метод наименьших квадратов