Методы разложения многочленов на множители

Методы разложения многочленов на множители

«Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять». Р.Декарт. Разработал Дудкин Владислав, ученик 11 класса.

Методы разложения многочленов на множители

Вынесение множителя за скобку Использование формул сокращённого умножения Способ группировки Метод выделения полного квадрата Метод неопределенных коэффициентов Схема Горнера Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Вынесение множителя за скобку

Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки. Пример: Разложить многочлен на множители 12y3 – 20y2. Решение Имеем: 12y3 – 20y2 = 4y2 · 3y – 4y2 · 5 = 4y2(3y – 5). Ответ. 4y2(3y – 5).

Использование формул сокращённого умножения

Вспомните эти формулы:

Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

a2-b2=(a-b)(a+b); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. Пример: Разложить на множители многочлен x4 – 1. Решение Имеем: x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x2 – 12)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1). Ответ. (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).

Способ группировки

Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения. Пример: Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2. Решение Сгруппируем слагаемые следующим образом: x3 – 3x2y – 4xy + 12y2 = (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x2, а во второй ? 4y. Получаем: (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y). Теперь общий множитель (x – 3y) также можно вынести за скобки: x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = (x – 3y)(x2 – 4y). Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y).

Метод выделения полного квадрата

Пример: Разложить на множители квадратный трехчлен х2-6x+5 Решение Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2·х·3. Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3. x2-6x+5=(x2-2·x·3+32)-32+5= =(x2-6x+9)-9+5= (x2-6x+9)-4= =(x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2)= =(x-5)(x-1). Ответ. (x-5)(x-1).

Метод неопределенных коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1. Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap) x2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: a=3 b?ap=?1 c?bp=?3 ?pc=1. Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1). Ответ. ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Схема Горнера

Если f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, g(x) = x – c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид: g(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-2x + bn-1, где b0 = a0, bk = cbk-1 + ak, k = 1,2, …, n-1 Остаток r находится по формуле r = cbn-1 + an

Пример 1 x4 – 3 x3 – 3x2 + 11x – 6 Решение

По схеме Горнера корнями данного многочлена могут быть числа ±1, ±2, ±3, x1 = 1 x2 = 1 x3 = -2 x4 = 3 x = 1 – корень кратности 2 Таким образом, разложение данного многочлена на множители имеет вид x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 = (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 ) Ответ. (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 )

1

-3

-3

11

-6

1

1

-2

-5

6

0

1

1

-1

6

0

-2

1

-3

0

3

1

0

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных

приемов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим. Пример: 8x4 + x3 + 64x +8 Решение. Применим методы группировки, вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения: 8x4 + x3 + 64x +8 = x3 (8x) + 8 (8x + 1) = (8x + 1) (x3 + 8) = (8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x +4) Ответ. 8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x + 4)

Заключение

В ходе работы были рассмотрены следующие способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки; группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования; использование формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; метод неопределенных коэффициентов; схема Горнера; комбинирование различных приемов. Комбинации различных приемов при разложение многочлена на множители используются при решении алгебраических уравнений высших степеней. Материал, описанный в ходе исследовательской работы, помогает определить наиболее рациональный метод разложения на множители для решения таких уравнений. Изложенный в работе материал может быть использован на уроках алгебры при изучении тем «Разложение многочлена на множители» (7 класс), «Решение квадратных уравнений» (9 класс), «Решение рациональных уравнений» (10-11 классы), а также исследован на дополнительных и факультативных занятиях по алгебре, элективных курсах. Выражаю благодарность руководителю за постановку задачи и полезные советы.