Презентация на тему «Методы решения систем линейных уравнений»

Системы линейных уравнений

Бугаева Вера Михайловна учитель математики МОУ лицея№1 г. Комсомольска-на-Амуре

Знания

Цели

Обобщить и углубить знания по теме системы линейных уравнений и мето- ды решений. Расширить кругозор учащихся. Показать применение данного мате- риала при решении задач различно- го уровня.

Задачи

Систематизировать знания и возможности применения данного материала при решении систем уравнений в 7 – 11 классах и задач олимпиад разной степени слож- ности. Увлечь школьников предметом математики. Возможность самостоятельного изучения данной темы и устранение пробелов в знаниях. Помощь учителям математики в проведении уроков, кружковых и факультативных занятий по данной теме.

Область применения

В качестве самоучителя учащегося; на факультативных занятиях и элективных курсах, уроках; При подготовке к олимпиадам различного уровня и конкурсам; В качестве электронного пособия для успеш- ной сдачи экзаменов.

Описание технологии создания работы

Данная работа выполнена в программе Microsoft Power Point. В ней присутствуют чертежи к задачам для лучшего понимания материала и выкладки фор- мул из печатного варианта работы. В работе также широко применяются анимационные эффекты. Раз- мер шрифта позволяет представлять данную работу как на уроках алгебры в условиях кабинета, так и на различных конференциях, т. е., является универсаль- ным. К тому же, благодаря выбранному размеру шрифта логическая завершенность информации на каждом слайде не нарушается.

Платон

Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?

Система вида

Система вида где называется

Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными.

Основные методы решения

Метод алгебраического сложения

Метод подстановки

Графический метод

Метод исключения неизвестного (метод Гаусса)

Метод определителей (формулы Крамера)

Системы двух линейных уравнений

Впервые с темой «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными» ученики встречаются в 7 классе. В процессе её изучения рассматриваются три основных способа решения таких систем: способ подстановки, способ ал-гебраического сложения, графический способ. Напомним алгоритмы решения систем линей-ных уравнений известными тремя способами и более подробно остановимся на наиболее инте-ресных и увлекательных способах решения (ме-тод определителей - метод Крамера, метод иск-лючения неизвестного - метод Гаусса).

Способ сложения

Уравнения системы можно складывать, вычитать, умножать на число, перемножать, делить, соблюдая при этом возможность выполнения таких операций. Заметим, что следствие системы, получаемое в результате алгебраиче- ских преобразований , содержит все решения исходной системы и, кроме того, оно может содержать лишние корни. Поэтому : 1) если следствие не имеет решений, то и исходная система не имеет решений; 2) если решениями следствия окажутся действительные числа, то их нужно подстановкой в исходную систему проверить, являются ли они ее корнями; 3) если решениями следствия окажутся алгебраические выражения, то их нужно рассматривать совместно с уравнением исходной системы. В этом случае получим равносильную систему или совокупность сис- тем.

Алгоритм решения систем методом сложения

Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной. Сложить почленно уравнения системы. Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых. Решить новое уравнение и найти значение одной переменной. Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой пере-менной Записать ответ: х=…; у=… .

Решить систему уравнений

Пример 1. Решить систему уравнений Решение. Сложим почленно уравнения системы, получим равносильную систему которая равносильна системе Полученная система имеет четыре решения (4;1), (4;-1), (1;2) и (1;-2). Ответ: (4;1), (4;-1), (1;2), (1;-2).

Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Перемножив почленно левые и правые части уравнений системы, получим уравнение 5х8у8 - 3х4у4 - 2 = 0, решая которое, находим х4у4 = 1 и х4у4 = - 2, из первого уравнения получим ху = 1 и ху = - 1, а второе решений не имеет. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем ху = 1, и ху = -1 2х8 = х4у4+1 2х8 = х4у4+ 1 Решением первой системы являются две пары чисел (1;1), (-1;-1), а второй – (-1;1) и (1;-1). Ответ. (1;1), (-1;-1), (-1;1) ,(1;-1).

Метод подстановки

Метод подстановки состоит в выражении одного неизвестного через другие и подстановки его в оставшиеся уравнения, получая при этом систему, равно- сильную данной.

Ответ: (0; 1)

Выразим из первого уравнения переменную

Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе и третье урав- нения, получим:

Ответ: (1; 1; 1)

Ответ

Ответ: (- 4; - 5 ), ( 5; 4 ).

Системы с параметрами

( )

Применяя метод подстановки для решения данной системы, надо учитывать, что каж- дый из коэффициентов при неизвестных может быть равен нулю. Поэтому необходимо отдельно рассмотреть случай обращения в нуль коэффициента при том неизвестном, которое мы будем выражать.

Пусть а = 0, тогда система имеет вид

(1)

(2)

Графический способ

Для графического метода решения систем двух уравнений с двумя неиз-вестными надо построить в одной системе координат графики обоих урав-нений системы, найти координаты точек пересечения этих графиков, а в за-дачах с параметрами исследовать различные варианты взаимного располо-жения этих графиков. Заметим, что найденные координаты точек пересече-ния должны быть проверены подстановкой в заданную систему уравнений. Отметим также, что графический метод удобно применять в тех случаях, когда после несложных преобразований можно без затруднений построить графики уравнений исходной системы.

«Руководство» к действию.

Выразить у через х в каждом уравнении. Построить в одной системе координат график каждого уравнения. Определить координаты точки пересечения. Записать ответ: х =…; у =… , или (х; у)

График первого уравнения

.

.

.

.

.

Решение.

У=х+2

У=10-х

Ответ: (4;6)

Построим график первого уравнения.

Линейная функция, график прямая линия

У = х + 2

Построим график второго уравнения.

У = 10 - х

Линейная функция, график прямая линия

Метод определителей

Порядком определителя называется число столбцов или строк, которых всегда одинаковое количество.

Вычисление определителя II порядка можно проиллюстрировать схемой

Побочная диагональ

Главная диагональ

Уравнения

Метод подстановки

Метод подстановки состоит в выражении одного неизвестного через другие и подстановки его в оставшиеся уравнения, получая при этом систему, равно- сильную данной.

Ответ: (0; 1)

Формулы

называется главным. Составим еще два определителя для данной системы, которые получаются из главного заменой столбца коэффициентов при соответствующей перемен- ной столбцом свободных членов.

Эти формулы называются формулами Крамера.

Габриэль Крамер

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демон- стрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность препо- давателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного одного кандидата на место преподава- теля была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал переписывать- ся всю жизнь. В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском универси- тете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, ис- тория, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике. Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и ре- шает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера. Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции.

Единственное решение

Каждому уравнению системы на плоскости хоу соответствует

Прямая, а самой системе пара прямых.

У

0

Т.Е. Если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.

Х

Решить систему уравнений

Пример 1.

Т.к. , то система имеет единственное

решение, которое найдем по формулам Крамера.

Х = 2, у = 3.

Ответ: (2; 3).

Система

Для того чтобы система не имела решений, необходимо и

Достаточно, чтобы главный определитель и хотя бы один из определи-телей или был отличен от нуля.

Пример 2.

Решить систему уравнений:

В этой системе уравнений свободные члены не про-

Порциональны коэффициентам при переменных

Поэтому данная система несовместна.

Ответ: решений нет.

У

Х

0

Коэффициенты

Для того чтобы система имела бесконечно много решений,

Необходимо и достаточно, чтобы

Отличны от нуля,

Если коэффициенты

То условие

Эквивалентно условию

В этом случае прямые совпадают, систему называ- ют несовместной и она имеет бесконечно много решений.

Пример 3.

Решить систему уравнений:

В этой системе уравнений свободные члены про-

Порциональны коэффициентам при переменных

Значит, данная система равносильна одному из уравнений, например перво- му, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений.

У

0

Х

Системы с параметрами

Найдем определители

В этом случае данная система имеет единственное решение

Решения

Метод определителей можно использовать для решения систем n линейных уравнений с n переменными.

Ее решение можно записать в виде

Выпускник

Тебе, выпускник!

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя переменными.

A11х + а12у + а13z = b1, a21x + a22y + a23z = b2, a31x + a32y + a33z = b3.

( )

Запишем главный определитель системы:

Составим еще три определителя:

Основания треугольников

Приведем два способа вычисления определителя третьего порядка.

1 способ.

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников или Саррюса, которое символически можно записать так:

Основания треугольников параллельны главной диагонали побочной диагонали

Проще запомнить так. Для вычисления определителя 3-го порядка приписать к нему снизу две первые стро-ки и взять сумму произведений трех элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных главной диагонали, со знаком минус взять сумму произве-дений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллель-ных ей.

Пьер Фредерик Саррюс

Например. Вычислить определитель:

Пьер Фредерик Саррюс — французский математик (10 марта 1798, Сент-Африк, департамент Аверон — 20 ноября 1861). Вырос без отца, посредственно учился в школе, испытывая особенные трудности с дисциплиной. Интересовался математикой и медициной, однако для получения меди- цинского образования требовалось заверенное мэром города «свидетельство о надле- жащем поведении». Как сторонник протестантизма и бонапартизма Саррюс его не по- лучил и поступил на факультет естественных наук, окончив его со специализацией в математике в 1821 году. С 1826 г. он преподавал в Страсбургском университете, с 1829г. был профессором, в 1839—1852 гг. деканом. В 1858 г. по болезни вышел в отставку. Саррюс опубликовал ряд работ в «Журнале чистой и прикладной математики» Жо- зефа Лиувилля.

Определители второго порядка

2 способ.

Определитель третьего порядка можно вычислить через определители второго по-рядка.

(*)

(1)

Определители второго порядка, входящие в выражение (1), составлены следующим образом. Вычеркнем из таблицы (*) ту строку, и тот столбец, где стоит a11. Остающий-ся определитель входит в (1) множителем при вычеркнутой букве a11. Аналогично по-лучаются два других определителя формулы. Смотри схему.

Полученные в выражение (1) определители второго порядка называются минорами, ко- торые обозначаются так: Мij С помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен

Знак перед произведени- ем равен (-1)n, где n = i + j.

Название

Эту же систему можно решить другим методом – методом Гаусса. Другое название этого метода - метод исключения неизвестного.

Пример 6. Решить систему уравнений.

Х = 86/43 = 2, у = -43/43 = -1, z = 129/43 = 3

Ответ: (2;-1;3)

Метод исключения неизвестного

Метод исключения неизвестного Метод Гаусса

Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился 30 апреля 1777г. С трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элемен-тарные вычисления. В 1784г. Карл пошел в школу. Учитель очень заинтересовался им и в 1786 г. Он получил из Гамбурга специальный арифметический текст.

В 1795г. Гаусс поступил в Геттингенский университет, чтобы изучать математику. В 1799г. Гаусс получил степень доктора философии. Гаусс скончался 23 февраля 1855г.

Карл покинул родительский дом в 1788г., когда поступил в школу следующей сту-пени. Гаусс не терял в новой школе времени даром: он хорошо выучил латынь, необходимую для дальнейшей учебы и карьеры. В 1791г. Гаусс, в качестве одарен-ного молодого горожанина, был представлен государю, который для начала пожа-ловал Гауссу стипендию. В 1792 -1795гг. Гаусс был учеником новой гимназии – Кол-легии Карла. Это была школа избранных.За время учебы Гаусс изучил работы Нью-тона, "Алгебру" и "Анализ" Эйлера, работы Лагранжа. Первый эффектный успех пришел к Гауссу, когда ему не было еще 19 лет - доказательство того, что можно построить правильный 17- угольник циркулем и линейкой.

Эффективный метод

Это наиболее универсальный и эффективный метод решения линейных алгебра-ических систем (метод Гаусса). Он основан на том, что следующие две операции приводят к системе двух линей-ных уравнений, равносильной исходной: 1. Домножением одного из уравнений на число ; 2. Замена одного из уравнений системы на его сумму с другим, домноженным на какое-нибудь число. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: Первый этап (прямой ход метода) – система с помощью этих опера- ax + bу + cz= A, ций приводится к ступенчатому (треугольному) виду путём последова- dy + pz = B, тельного исключения неизвестных; kz = C. Второй этап (обратный ход) – последовательно определяются неиз- вестные из этой ступенчатой системы, начиная с последнего и кончая первым.

Ответ: (1; 2; 3).

Ответ: (1; 2; 1)

Ответ: (8; 4; 2).

Задания для самостоятельного решения

1. Решить системы уравнений:

2. Найти все значения b, при каждом из которых система

Не имеет решений.

Значения

3. Найти все значения с, при каждом из которых система

Имеет бесконечное множество решений

4. При каких значениях a и b система уравнений

Имеет единственное решение.

Список литературы

1. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра

2. Краснов М. Вся высшая математика т.1 изд

3. Ю.Н.Макарычев, Н.Т.Миндюк, К.И. Пенина учебник алгебры 7класс

4. А.И.Азаров, С.А.Барвшов, А.С.Шибут – текстовые задачи

5. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по математике.-М.:Наука.-1983

6. Интернет

Удачи Вам и успехов в изучении математики