Презентация на тему «Многочлены»

Многочлены

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

Р(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a3x3 + a2x2 + a1x + ao

- Стандартный вид многочлена р(х)

Anxn – старший член многочлена р(х)

An – коэффициент при старшем члене

N – степень многочлена

Aо – свободный член многочлена р(х)

Многочлены от одной переменной

Если an = 1, то многочлен р(х) называется приведенным Если an ? 1, то многочлен р(х) называется неприведенным

Деление многочленов

Р(x) = s(x) ? q(x)

Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество

P(x) – делимое (или кратное)

S(x) – делитель

Q(x) – частное

Деление многочленов

Пример 1

Т. К. Х3 ? 3х2 + 5х ? 15 = (х2 + 5)(х ? 3), то многочлен х3 ? 3х2 + 5х ? 15 делится на многочлены х2 + 5 и х ? 3.

?

?

0

Х2 + 5

Х3 ? 3х2 + 5х ? 15

Х3 + 5х

Х

? 3

? 3х2 ? 15

? 3х2 ? 15

Р(x) = s(x) q(x) + r(х)

Деление многочленов с остатком

P(x) – делимое (или кратное)

S(x) – делитель

Q(x) – неполное частное

R(x) – остаток

Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество

Деление многочленов с остатком

Пример 2

Т. К. 2х2 ? х ? 3 = 2х2 ? 4х + 3х ? 6 + 3 = = 2х(х ? 2) + 3(х ? 2) + 3 = (х ? 2)(2х + 3) + 3,

То 2х2 ? х ? 3 = (х ? 2)(2х + 3) + 3

?

?

Х ? 2

2х2 ? х ? 3

2х2 ? 4х

2х

+ 3

3х ? 3

3х ? 6

3

Теорема Безу

Р(x) = (x ? а) q(x) + r

P(x) – делимое (или кратное)

X ? а – делитель

Q(x) – частное

R – остаток (число)

Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен x ? а равен р(а) (т.е. значению многочлена р(x) при х = а)

Деление многочленов с остатком

Пример 2

Найдем остаток от деления многочлена р(х) = 2х2 ? х ? 3 на двучлен х ? 2.

По теореме Безу: р(2)= 2?22 ? 2 ? 3 = 3

?

?

Х ? 2

2х2 ? х ? 3

2х2 ? 4х

2х

+ 3

3х ? 3

3х ? 6

3

Следствие теоремы Безу

Определение

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.

Следствие

Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен x ? а.

Схема Горнера

Пусть р(x) = bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Разделим р(х) на x ? а получим р(x) = (х ? а )q(x) + r, где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx3 + mx2 + nx + s, коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера:

k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f

b

c

d

e

f

a

k = b

m = ka + c

n = ma + d

s = na + e

r = sa + f

Пример 3

Разделим р(x) = 2x5 + x4 ? 3x3 + 2x2 + 5 на x + 2. Здесь a = ? 2; Коэффициенты равны соответственно 2, 1, ?3, 2, 0, 5. Строим таблицу для применения схемы Горнера:

2

1

?3

2

0

5

?3?(?2)+(?3)

8?(?2)+5

3?(?2)+2

?4?(?2)+0

2?(?2)+1

?3

?4

?11

Коэффициенты частного: 2, ? 3, 3, ? 4, 8, а остаток r = ? 11. Значит, 2x5 + x4 ? 3x3 + 2x2 + 5 = = (х + 2)(2x4 ? 3x3 + 3x2 ? 4x + 8) ? 11

2

?2

3

2

8

Разложение многочлена на множители

Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: (a +

b)c = ac + bc В обратном порядке: ac + bc = c(a + b)

Пример 4

8х4 + 6х3 ? 4х2 + 2х =

2х (4х3 + 3х2 ? 2х + 1)

3x3 (1 + 2х3 ? 9x)

3х3 + 6х6 ? 27х4 =

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c

Пример 5

3(х3 + 2х2 ? 9х ? 18) =

3х3 + 6х2 ? 27х ? 54 =

= 3(х2 (х + 2) ? 9(х + 2)) =

3(х + 2)(х2 ? 9) =

= 3(х + 2)(х ? 3)(х + 3)

Использование формул сокращенного умножения

(A + b)(а ? b) = a2 ? b2 – разность квадратов (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – квадрат суммы (a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2 – квадрат разности (a + b)(a2 ? ab + b2) = а3 + b3 – сумма кубов (a ? b)(a2 + ab + b2) = а3 ? b3 – разность кубов (a ? b)3 = a3 ? 3ab2 + 3a2b ? b3 – куб разности (a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 – куб суммы

Пример 6

(Х3)2 ? 12 = (х3 + 1)(х3 ? 1) =

Х6 ? 1 =

= (Х + 1)(х2 ? х + 1)(х ? 1)(х2 + х + 1)

Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена aх2 + bх + с, то aх2 + bх +

с = а (х ? х1)(х ? х2)

Пример 7

2х2 ? 3х ? 5 =

(Х + 1)(2х ? 5)

2 (х + 1)(х ? 2,5) =

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема

Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х).

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх3 + сх2+ dx + т, где все коэффициенты b, с, d, т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х). Это значит, что р(а) = 0, т. е. bаз + ca2 + da + m = 0. Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа2 – са – d) и обозначим целое число (– bа2 – са – d) буквой k. Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что число а – делитель числа т, т. е. делитель свободного члена многочлена р(х). Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n-й степени.

Пример 8

Разложить многочлен: х3 ? 3х2 ? 10х + 24

Х3 ? 3х2 ? 10х + 24 =

(Х – 2)(х2 ? х ? 12) =

= (Х – 2)(х ? 4)(х + 3)

Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р(1) = 12 ? 0, р(?1) = 30 ? 0, р(2) = 0. Значит х = 2 – корень многочлена р(х). С помощью схемы Горнера найдем частное q(x):

1

?3

?10

24

2

2?(?12)+24

2?1+(?3)

2?(?1)?10

1

?1

?12

1

0

х2 – у2 = (х – у)(х + у) х3 – у3 = (х – у)(х2 + ху + у2) x4 – у4 = (x

– y)(x3 + x2у + xy2 + уЗ) x5 – у5 = (x – y)(х4 + хзy + х2y2 + хy3 + y4) … xn – уn = (x – y)(хn?1 + хn?2y + хn?3y2 + … + + х2yn?3 + xyn?2 + yn?1)

Многочлены от нескольких переменных

Х3 + у3 = (х + у)(х2 – ху + у2) x5 + у5 = (x + y)(х4 – х3y + х2y2 –

хy3 + y4) … x2n+1 + у2n+1 = (x + y)(х2n – х2n?1y + х2n?2y2 – – х2n?3y3 + … + x2y2n?2 – xy2n?1 + y2n)

Многочлены от нескольких переменных

Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п-ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п. Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.

Х3 + 2х2 – 7х – 12 = 0

Пример 9

Уравнения высших степеней

Теорема. Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Делители числа 12: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12. Пусть Р(х) = х3 + 2х2 – 7х – 12, тогда Р(1) = ?16, Р(?1) = ?4, Р(2) = ?10, Р(?2) = 2, Р(3) = 12, Р(?3) = 0. Значит х = ?3 – корень многочлена Р(х).