Множества
<<  Множества Теория множеств  >>
Множества
Множества
Содержание
Содержание
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Немного истории
Множество
Множество
Отношения множеств
Отношения множеств
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Бинарные операции
Математические обозначения
Математические обозначения
Диаграмма Дж
Диаграмма Дж
Числовые множества
Числовые множества
Источники
Источники

Презентация: «Множества». Автор: Александр. Файл: «Множества.ppt». Размер zip-архива: 479 КБ.

Множества

содержание презентации «Множества.ppt»
СлайдТекст
1 Множества

Множества

Плеханов Александр Генжалиев Артур 8 «А» класс Учитель математики: Маргарита Борисовна Учитель информатики: Ольга Александровна 2012

2 Содержание

Содержание

Немного истории Множество Бинарные операции Математические обозначения Сходные объекты Источники

EXIT

3 Немного истории

Немного истории

До XIX века были известны в основном только конечные множества, которыми тогда и владели математики. Конечными множествами называются множества, для количества элементов которых сущест- вует некое неотрицательное число k, равное количеству элементов этого мно- жества. Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены чешским мате-матиком, философом и теологом, Бер-нандом Больцано, который сформули-ровал некоторые из её принципов.

4 Немного истории

Немного истории

Позже, с 1872 г. по 1897 г., Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные раз-делы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию транс-финитных чисел. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рас-суждениями нового типа, которые при-менил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бес-конечным множествам. Поэтому обще-признано, что теорию множеств создал Георг Кантор, а не Бернанд Больцано. Эта концепция привела к парадоксам, в част-ности, к парадоксу Рассела.

5 Немного истории

Немного истории

Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. Теория множеств была аксио-матизирована, то есть к теории были сос-тавлены аксиомы (правила без доказа-тельств), независимо английским матема-тиком и философом Бертраном Рассе-лем и немецким математиком Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие иссле-дователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их хара-ктер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию мно-жеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построе-нную аксиоматической теорией множе-ств.

Содержание

6 Немного истории

Немного истории

Также стоит рассказать про таких деяте-лей как Эйлер и Венн, чьи диаграммы до сих пор используются в изображениях бинарных операций. Начнём с швейцарского, немецкого и российского математика, внёсший значи-тельный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук, Леонарда Эйлера. Главным вкладом Эйлера в теорию мно-жеств было создание так называемых кругов Эйлера. С помощью них изобра-жалось отношение множеств и их пересечение и не пересечение. Так же Эйлер внёс неоценимый вклад например в Теорию чисел, заново возро-див к ней интерес математиков.

7 Немного истории

Немного истории

Переходим к английскому логику и фило-софу Джону Венну. Более всего Венн стал известен среди ло-гиков за свою работу «Символьная логи-ка», где он ввёл ставшую знаменитой диаграмму Венна. Сама диаграмма представляла собой схе-матический способ представления мно-жеств, их объединений и пересечений с помощью кругов. По сути – продолжение работы над кругами Эйлера. Однако, в отличии от Эйлера, чей интерес больше всего привлекали теория чисел и матема-тический анализ, Вен целенаправленно изучал теорию множеств, а так же теорию вероятности, логику, статистику и инфо-рматики.

8 Множество

Множество

Итак определение множества: множество – совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются прописными, а элементы множества строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x?Х. Если множество Y является частью множества X, то записывают Y?X. Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании свойства, которым обладают элементы данного множества, а все остальные - нет. Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества, естественно, можно задать только с помощью описания.

Содержание

9 Отношения множеств

Отношения множеств

Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения. A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B: A включает B, если B включено в A: A равно B, если A и B включены друг в друга: A строго включено в B , если A включено в B, но не равно ему: A строго включает B, если B строго включено в A: A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов. A и B не пересекаются: A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам: A и B находятся в общем положении: Так же над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Математические обозначения

10 Бинарные операции

Бинарные операции

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

11 Бинарные операции

Бинарные операции

Свойства пересечения множеств: Если множества А и В не пересекаются, то их объединение – их сумма. Операция пересечения множеств коммутативна: Операция пересечения множеств ассоциативна: Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения: Универсальное множество U является нейтральным элементом операции пересечения множеств: Операция пересечения множеств идемпотентна: Если множество пересекается с пустым множеством:

12 Бинарные операции

Бинарные операции

Пересечение множеств встречается в математике, например, при решении системы неравенств. Приведём пример простой системы неравенств: Решением этой системы является : то есть множество .

13 Бинарные операции

Бинарные операции

Объединение множеств (т.ж. сумма или соединение) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы.

14 Бинарные операции

Бинарные операции

Объединение множеств Свойства объединения множеств: Операция объединения множеств коммутативна: Операция объединения множеств ассоциативна: Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения: Пустое множество Х является нейтральным элементом операции объединения множеств: Операция объединения множеств идемпотентна:

15 Бинарные операции

Бинарные операции

Объединение множеств встречается в математике, например, при решении совокупности неравенств. Приведём пример простой совокупности неравенств: Решением этой совокупности является :

16 Бинарные операции

Бинарные операции

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как , но иногда можно встретить обозначения .

17 Бинарные операции

Бинарные операции

Разность двух множеств Свойства разности двух множеств: Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество. Свойства пустого множества относительно разности. Разность двух множеств содержится в уменьшаемом. Разность не пересекается с вычитаемым. Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом.

18 Бинарные операции

Бинарные операции

Разность двух множеств. Стоит посмотреть законы о разности двух множеств шотландского математика, логика и первого президента Лондонского математического общества - де Моргана: . . . . . . Если и , то Если , то для любого выполняется

19 Бинарные операции

Бинарные операции

Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность множеств A и B обозначается как . В некоторых источниках используется обозначение

20 Бинарные операции

Бинарные операции

Симметрическая разность двух множеств Свойства симметрической разности двух множеств: Симметрическая разность коммутативна. Симметрическая разность ассоциативна. Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности. Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности. Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности.

21 Бинарные операции

Бинарные операции

k

l

n

a

ak

al

an

b

bk

bl

bn

c

ck

cl

cn

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Приведем пример. И так, прямое произведение множества А на В, содержащих элементы {a,b,c} и {k,l,n} соответственно.

Это произведение можно записать в виде таблицы:

Содержание

22 Математические обозначения

Математические обозначения

- Является подмножеством или равно. - Является супермножеством или равно. - Для всех. - Логическое «и». - Логическое «или». - Существует. - Равносильны.

Содержание

Отношение множеств

23 Диаграмма Дж

Диаграмма Дж

Венна

При решении некоторых задач используется диаграмма Венна. Итак, у нас есть элементы: бог, Санта Клаус, человек паук и испанская инквизиция. Нам надо узнать, кто сразу и носит красное, и знает, хорошим ты был или плохим, и имеет большую силу и большую ответственность. Построив диаграмму Венна видно, что всем трём свойствам подходит только Санта Клаус. Задача решена.

24 Числовые множества

Числовые множества

Множество натуральных чисел: числа вида N = {1, 2, 3, …}. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Множество целых чисел: числа вида Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}. Целые числа - это натуральные числа, числа, противо-положные натуральным, и число 0. Образованное целыми и дробными чис-лами множество рациональных чисел Q = Z {nm}, где m - целое число, а n - натура-льное число. Образованное числами не являющимися целыми или дробными множество ирра-циональных чисел I. Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множе-ством действительных чисел R: рацио-нальных и иррациональных. Множество комплексных чисел: чисел вида С = {x+iy}, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица.

Содержание

25 Источники

Источники

Сайт: http://ru.wikipedia.org/ Книга: «Обобщение чисел» Книга: «Курс математики 8-11 класс» Книга: «Множества. Логика. Аксиоматические теории» Книга: «Математические основы теории систем»

Спасибо за внимание!

«Множества»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/mnozhestva-111452.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды