Множества

Множества

Плеханов Александр Генжалиев Артур 8 «А» класс Учитель математики: Маргарита Борисовна Учитель информатики: Ольга Александровна 2012

Содержание

Немного истории Множество Бинарные операции Математические обозначения Сходные объекты Источники

EXIT

Немного истории

До XIX века были известны в основном только конечные множества, которыми тогда и владели математики. Конечными множествами называются множества, для количества элементов которых сущест- вует некое неотрицательное число k, равное количеству элементов этого мно- жества. Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены чешским мате-матиком, философом и теологом, Бер-нандом Больцано, который сформули-ровал некоторые из её принципов.

Немного истории

Позже, с 1872 г. по 1897 г., Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные раз-делы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию транс-финитных чисел. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рас-суждениями нового типа, которые при-менил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бес-конечным множествам. Поэтому обще-признано, что теорию множеств создал Георг Кантор, а не Бернанд Больцано. Эта концепция привела к парадоксам, в част-ности, к парадоксу Рассела.

Немного истории

Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. Теория множеств была аксио-матизирована, то есть к теории были сос-тавлены аксиомы (правила без доказа-тельств), независимо английским матема-тиком и философом Бертраном Рассе-лем и немецким математиком Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие иссле-дователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их хара-ктер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию мно-жеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построе-нную аксиоматической теорией множе-ств.

Содержание

Немного истории

Также стоит рассказать про таких деяте-лей как Эйлер и Венн, чьи диаграммы до сих пор используются в изображениях бинарных операций. Начнём с швейцарского, немецкого и российского математика, внёсший значи-тельный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук, Леонарда Эйлера. Главным вкладом Эйлера в теорию мно-жеств было создание так называемых кругов Эйлера. С помощью них изобра-жалось отношение множеств и их пересечение и не пересечение. Так же Эйлер внёс неоценимый вклад например в Теорию чисел, заново возро-див к ней интерес математиков.

Немного истории

Переходим к английскому логику и фило-софу Джону Венну. Более всего Венн стал известен среди ло-гиков за свою работу «Символьная логи-ка», где он ввёл ставшую знаменитой диаграмму Венна. Сама диаграмма представляла собой схе-матический способ представления мно-жеств, их объединений и пересечений с помощью кругов. По сути – продолжение работы над кругами Эйлера. Однако, в отличии от Эйлера, чей интерес больше всего привлекали теория чисел и матема-тический анализ, Вен целенаправленно изучал теорию множеств, а так же теорию вероятности, логику, статистику и инфо-рматики.

Множество

Итак определение множества: множество – совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются прописными, а элементы множества строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x?Х. Если множество Y является частью множества X, то записывают Y?X. Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании свойства, которым обладают элементы данного множества, а все остальные - нет. Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества, естественно, можно задать только с помощью описания.

Содержание

Отношения множеств

Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения. A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B: A включает B, если B включено в A: A равно B, если A и B включены друг в друга: A строго включено в B , если A включено в B, но не равно ему: A строго включает B, если B строго включено в A: A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов. A и B не пересекаются: A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам: A и B находятся в общем положении: Так же над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Математические обозначения

Бинарные операции

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Бинарные операции

Свойства пересечения множеств: Если множества А и В не пересекаются, то их объединение – их сумма. Операция пересечения множеств коммутативна: Операция пересечения множеств ассоциативна: Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения: Универсальное множество U является нейтральным элементом операции пересечения множеств: Операция пересечения множеств идемпотентна: Если множество пересекается с пустым множеством:

Бинарные операции

Пересечение множеств встречается в математике, например, при решении системы неравенств. Приведём пример простой системы неравенств: Решением этой системы является : то есть множество .

Бинарные операции

Объединение множеств (т.ж. сумма или соединение) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы.

Бинарные операции

Объединение множеств Свойства объединения множеств: Операция объединения множеств коммутативна: Операция объединения множеств ассоциативна: Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения: Пустое множество Х является нейтральным элементом операции объединения множеств: Операция объединения множеств идемпотентна:

Бинарные операции

Объединение множеств встречается в математике, например, при решении совокупности неравенств. Приведём пример простой совокупности неравенств: Решением этой совокупности является :

Бинарные операции

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как , но иногда можно встретить обозначения .

Бинарные операции

Разность двух множеств Свойства разности двух множеств: Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество. Свойства пустого множества относительно разности. Разность двух множеств содержится в уменьшаемом. Разность не пересекается с вычитаемым. Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом.

Бинарные операции

Разность двух множеств. Стоит посмотреть законы о разности двух множеств шотландского математика, логика и первого президента Лондонского математического общества - де Моргана: . . . . . . Если и , то Если , то для любого выполняется

Бинарные операции

Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность множеств A и B обозначается как . В некоторых источниках используется обозначение

Бинарные операции

Симметрическая разность двух множеств Свойства симметрической разности двух множеств: Симметрическая разность коммутативна. Симметрическая разность ассоциативна. Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности. Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности. Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности.

Бинарные операции

k

l

n

a

ak

al

an

b

bk

bl

bn

c

ck

cl

cn

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Приведем пример. И так, прямое произведение множества А на В, содержащих элементы {a,b,c} и {k,l,n} соответственно.

Это произведение можно записать в виде таблицы:

Содержание

Математические обозначения

- Является подмножеством или равно. - Является супермножеством или равно. - Для всех. - Логическое «и». - Логическое «или». - Существует. - Равносильны.

Содержание

Отношение множеств

Диаграмма Дж

Венна

При решении некоторых задач используется диаграмма Венна. Итак, у нас есть элементы: бог, Санта Клаус, человек паук и испанская инквизиция. Нам надо узнать, кто сразу и носит красное, и знает, хорошим ты был или плохим, и имеет большую силу и большую ответственность. Построив диаграмму Венна видно, что всем трём свойствам подходит только Санта Клаус. Задача решена.

Числовые множества

Множество натуральных чисел: числа вида N = {1, 2, 3, …}. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Множество целых чисел: числа вида Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}. Целые числа - это натуральные числа, числа, противо-положные натуральным, и число 0. Образованное целыми и дробными чис-лами множество рациональных чисел Q = Z {nm}, где m - целое число, а n - натура-льное число. Образованное числами не являющимися целыми или дробными множество ирра-циональных чисел I. Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множе-ством действительных чисел R: рацио-нальных и иррациональных. Множество комплексных чисел: чисел вида С = {x+iy}, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица.

Содержание

Источники

Сайт: http://ru.wikipedia.org/ Книга: «Обобщение чисел» Книга: «Курс математики 8-11 класс» Книга: «Множества. Логика. Аксиоматические теории» Книга: «Математические основы теории систем»

Спасибо за внимание!