Презентация на тему «Множества и операции над ними»

Множества и операции над ними

Определение множества

Множество – это совокупность однотипных элементов или объектов, объединённых по некоторому признаку. Например, множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, множество натуральных чисел N и т.д.

Множество дней недели, Множество месяцев в году

Множество точек на прямой, Множество звезд на небе

Обозначение множеств

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C… Z. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c… z. Например: А ={а, b, c}

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью

символа ? (в противном случае используется символ ?). Запись а ?А означает, что а есть элемент множества А. Запись 4?{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}. Равными называют два множества A и B, состоящие из одинаковых элементов: А = В. Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется пустым и обозначается ?

Способы задания множеств

Подмножество

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера. Множество K называют подмножеством множества М и обозначают K ? M. Множество K называется подмножеством множества M ( K ? M ), если для любого х ? К выполняется х ? М.

Объединение множеств

Суммой или объединением двух множеств X и Y называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств X и Y. Обозначается: С=X?Y.

C

Пересечение множеств

Пересечением множеств Х и Y называется множество А, состоящее из элементов, входящих одновременно и во множество Х, и во множество Y . Обозначение: А=X ? Y

A

Разность множеств

Разностью множеств X и Y называется множество, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y. Обозначение: X\Y

Пример 1

Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти А?В, С?D, В?С, А?D,А\С, D\В, А?В?С, А?В?С, В?D?С, А?С\D. Решение: Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность. Получим А?В={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16}, С?D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20}, В?С={16}, А?D=?, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20}, А?В?С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16}, А?В?С=?, В?D?С={1, 3, 4, 8, 16}, А?С\D={13, 15}

Пример 2

Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4? Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (A?B)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А?В. Находим m (A?B) = m (A) + m (В) - m (A?B) = 210 + 180 – 250 = 140.

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Задача

Из 90 туристов, отправляющихся в путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение

Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10 – 3 = 7 (человек)

В общую часть английского и французского кругов вписываем число 7

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8 – 3 = 5 (человек)

В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5

Немецкий

Французский

3

5

7

Английский

Ответ: 10 человек

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5 – 3 = 2 (человека)

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем число 2

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек. Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек. Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.

По условию задачи всего 90 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7 = 80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 10 человек не владеют ни одним языком.

Немецкий

Французский

20

2

30

3

7

5

13

Английский

Задачи для самостоятельного решения:

1. В городе живёт многодетная семья. 7 детей любят капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

2. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?

3. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Успехов в решении задач