Множества, операции над ними лекция №1

Множества, операции над ними лекция №1

Множество есть многое, мыслимое нами как единое

». Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918)

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий

математики. Под множеством будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Примеры множеств: множество студентов данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х2-5х+6=0; множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Например: 3

{1,2,3,4}.

5 {1,2,3,4}.

Элементами множества являются числа, буквы, имена или другие последовательности заключенные в фигурные скобки. Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества ? малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А Если а не принадлежит А, то пишут: а А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е

множества, элементами кото-рых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел. Приняты также обозначения Z+ , Q+, R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z?, Q?, R? -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

перечисление элементов множества; А={a; b; c; …;d} указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они. А={х | х2-5х+6=0}.

Например

1. {х : х — футболист, играющий за Юго-западный колледж} - множество, состоящее из всех футбольных игроков, выступающих за Юго-западный колледж. 2. {х : х —- гражданин Англии} - описывает множество всех граждан Англии. Способ задания множества должен быть адекватным, т.е. должен полностью определять множество.

Это не представляет труда, если объекты множества перечислены

Например: как правило, для обозначения множеств будем использовать прописные буквы. А = {Боб, Джейн, Нэнси} есть множество, состоящее из Боба, Джейн и Нэнси.

Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы полу- чить правильное

утверждение: 1) 5 * N; 2) –5 * Q; 3) 3,14 * Q; 4) 2 * R; 5) 0 * N; 6) ? 12 * Z; 6) ? * Q; 8) 3 * ?

Задайте перечислением элементов множество: 1) A = {x | x N, x2 – 1 =

0}; 2) B = {x | x Z, | x | < 3}; 3) C = {x | x N, x ? 15, x = 7k, k Z}.

Действия над множествами

Включение и равенство множеств Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У.

Подмножества

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, множество А называется подмножеством множества В (обозначение - А ? В или В ? А). Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества В содержит хотя бы один элемент множества В, но не все его элементы. Для истинных подмножеств множества В применяется обозначение А ? В или В ? А.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения т

е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У.

Пустое множество, обозначаемое

или {}, есть множество, которое не содержит элементов. Универсальное множество I есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.