На комбинированные задачи по стереометрии

Координатный метод при решении задач Стереометрии Разработала учитель

математики Даровских Ирина Михайловна Г. Владимир 2014

Муниципальное автономное образовательное учреждение г. Владимира «Средняя образовательная школа № 14»

Типы задач:

Расстояние от точки до плоскости; расстояние от точки до прямой; угол между прямой и плоскостью; угол между скрещивающимися прямыми; угол между плоскостями; комбинированные задачи, в которых известно данное одного типа, а найти нужно данное другого или других типов.

Суть метода координат:

Введение ( привязка к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – вычисление длин образующихся векторов или углов между ними.

Алгоритм применения КВМ

Выбрать в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения. Найти координаты необходимых точек. Решить задачу, используя основные задачи метода координат. Перейти от аналитических соотношений к геометрическим.

Основные формулы

Если М1(х1;у1;z1),М2(х2;у2;z2), то М1М2{х2-х1;у2-у1;z2- z1}; (1) |М1М2|=? (х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2- z1)2 (2) Если М(х;у;z) - середина отрезка М1М2, то Х= (3)

Если а (а1;а2;а3), в (b1; b2; b3), то а ·в =а 1· b 1+а 2· b 2+а 3· b 3

(4) а ·в =|а|·|в|· (5) = = (6) (7)

Основные формулы

Условие коллинеарности векторов а (а1;а2;а3) и в (b1; b2; b3): (8)

Уравнение сферы с центром в т.С(х0;у0;z0) и радиусом r имеет вид: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2; (9)

Основные формулы

Формулы для нахождения площадей

Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна

D

С

?

А

В

Уравнения прямой и плоскости

Каноническое уравнение прямой: , где М(х0,у0,z0) , а вектор является направляющим Уравнение прямой, заданной 2-мя точками: М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) имеет вид: Уравнение плоскости, заданной точкой М(х0,у0,z0) и вектором нормали (любым ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости): Ах+Ву+Сz+D=0, где D=-(Ax0+Bу0+Сz0)

Формулы нахождения расстояния от точки до плоскости

Если точка М(х0,у0,z0), а плоскость ? задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, то расстояние от точки М до плоскости ? вычисляется по формуле:

Пусть а (a1;а2;а3), b (b1; b2; b3) – направляющие векторы этих прямых,

а ? – искомый угол. Обозначим через . Тогда ?= , если ? 900 , либо ?= 1800 - , если > 900. Поэтому либо cos? = cos , либо cos? =-cos . В любом случае , а т.к. ? ? 900, то cos ? ?0, и, следовательно, cos?= . Получаем: =

Задача1. Найти угол между двумя прямыми d1 и d2 (пересекающимися или скрещивающимися), если направляющие векторы этих прямых известны.

cos?=

=

Задача 2. Найти угол между прямой d и плоскостью

, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Пусть - направляющий вектор прямой , – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости ? Тогда

Задача

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка K середина ребра DD1. Точки M и H лежат на ребрах A1B1 и AB соответственно, причем A1M:MB1=1:3, AH:HB=3:1. Найти градусную меру угла между прямыми MH и KC1.

Решение:

1. Пусть ? искомый угол.

z

B1

C1

M

A1

D1

K

B

C

y

H

D

A

x

(0;4;4)

(3;0;4)

(4;4;2)

(1;0;0)

Задача (егэ 2006)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA. Найдите квадрат тангенса угла между прямыми SD и BF.

Дано: SABСD – правильная пирамида SO=AC; AF=FS Найти:

Решение:

1. Введем систему координат, взяв за единичный отрезок длину OA.

2. Определим координаты точек S, D, B и F.

F

(0;0;2)

(-0,5;0;1)

(0;-1;0)

(0;1;0)

Задача

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами AB=4 и BC=6. Высота призмы равна 10. Найдите объем пирамиды с вершинами в точке C1 и серединах ребер BC, BB1 и A1B1.

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма

ABC – прямоугольный, ?B=900 AB=4, BC=6, BB1=10 Найти: VC1FMN

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат.

F

N

M

(-2;0;10)

4. Подставим в уравнение плоскости FNM mx+ny+cz+d=0 координаты точек M, N и F:

(0;0;5)

(0;3;0)

Задача (егэ 2007)

В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину. Точка M – середина ребра AD, точка O – центр треугольника ABC, точка N - середина ребра AB и точка K – середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MO и KN.

Решение:

6. Пользуясь таблицей 1, получим:

Дано: DABC – тетраэдр M – середина AD, O – центр ?ABC, N – середина AB, K- середина CD Найти: угол между MO и KN.

M

K

O

N

1. Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы

2. Составим таблицу умножения для этого базиса (Таблица 1).

Таблица 1

1

1/2

1/2

1/2

1

1/2

1/2

1/2

1

Этот метод не требуют рассмотрения сложных геометрических конфигураций

Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Сводит геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую Недостаток – это большой объем вычислений.

Достоинства и недостатки метода координат:

Используемая литература

Александро А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве ALFA,1998 Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-П:, 1997 Гельфанд И.М. Метод координат.- М.: Наука, 1973 Гущин Д.Д. Материалы вступительных экзаменов по математике. Для поступающих в СПбГУ,2003 Журналы «Математика в школе», «Квант». Метод координат. Методическая разработка для уч-ся заочного отделения МГУ им. М.В.Ломоносова М.,2008 Прасолов В.В.,Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии Москва, «Наука»,1989г. Севрюков П.Ф.,Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии