Нахождение наибольших (наименьших) значений, экстремумов функций

Нахождение наибольших (наименьших) значений, экстремумов функций

(задача В14 открытого банка задач ЕГЭ).

г. Мурманск МБОУ гимназия №3 Шахова Татьяна Александровна.

Необходимые умения и навыки

1) Уметь использовать формулы и правила дифференцирования для нахождения производных функций.

2) Владеть алгоритмом нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке.

3) Владеть алгоритмом нахождения точек экстремума.

4) Уметь решать простейшие тригонометрические и алгебраические уравнения.

http://ta-shah.ucoz.ru/load/10_klass/10_klass/formuly_i_pravila_differencirovanija/12-1-0-38

http://ta-shah.ucoz.ru/load/10_klass/10_klass/differencirovanie_slozhnoj_funkcii/12-1-0-41

http://ta-shah.ucoz.ru/load/10_klass/10_klass/reshenie_prostejshikh_trigonometricheskikh_uravnenij/12-1-0-15

2

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

03.10.2015

3

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на

отрезке.

1)Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у’=0.

2)Найти значение функции в полученных точках и на краях отрезка.

3)Сравнить полученные значения и записать ответ, соответствующий вопросу задачи.

03.10.2015

4

Алгоритм нахождения экстремумов функции

1)Найти стационарные и критические точки. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у’=0.

2)Определить знаки производной на полученных Числовых промежутках.

3) Внутренняя точка области определения, в которой производная меняет знак с «+» на «-» ( с «-» на «+») является точкой максимума ( минимума ).

03.10.2015

5

Задачи открытого банка

Нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрических функций.

03.10.2015

6

Прототип №1

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1)

Экстремумов нет.

Найдем значение функции на краях отрезка.

2)

?

Формулы

Алгоритм

Прототип №2

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1)

Экстремумов нет.

Найдем значение функции на краях отрезка.

2)

?

Формулы

Алгоритм

Прототип №3

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1)

В указанный отрезок входит число .

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №4

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1)

В указанный отрезок входят числа .

Найдем значение функции в этих точках и на краях отрезка.

2)

Формулы

Алгоритм

Задачи открытого банка

Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций.

03.10.2015

11

Прототип №5

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

В указанный отрезок входит число -1.

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

1)

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №6

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

В указанный отрезок входит число 4.

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

1)

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №7

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Эти числа являются краями отрезка.

Найдем значение функции в этих точках.

1)

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №8

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Это число принадлежит указанному отрезку.

1)

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №9

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Указанному отрезку принадлежит число 6.

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

1)

2)

Формулы

Алгоритм

Прототип №10

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1)

Указанному отрезку принадлежит число -3.

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

4)

Это рациональный способ работы. Но ты можешь, просто, аккуратно и внимательно раскрыть скобки. Тогда далее решаешь традиционное квадратное уравнение.

Формулы

Алгоритм

Прототип №11

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1)

Указанному отрезку принадлежит число -2.

Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка.

2)

?

Очевидно, что это значение намного меньше двух предыдущих.

Оно не может являться ответом и можно не выполнять эти неудобные вычисления.

Формулы

Алгоритм

Задачи открытого банка

Нахождение точек экстремумов функций.

03.10.2015

19

Прототип №12

Найдите точку максимума функции

Отметим полученные точки на числовой прямой.

1)

3)

Определим знак производной на каждом промежутке.

Формулы

Алгоритм

Прототип №13

Найдите точку минимума функции

1)

Отметим полученные точки на числовой прямой.

2)

Определим знак производной на каждом промежутке.

Формулы

Алгоритм

Прототип №14

Найдите точку максимума функции

1)

Отметим полученные точки на числовой прямой.

2)

Определим знак производной на каждом промежутке.

Формулы

Алгоритм

Прототип №15

Найдите точку максимума функции

1)

Отметим полученную точку на числовой прямой.

2)

Определим знак производной на каждом промежутке.

Формулы

Алгоритм

Прототип №16

Найдите точку минимума функции , принадлежащую промежутку .

1)

Указанному промежутку принадлежит только точка 0,5.

Отметим ее на числовой прямой.

2)

Определим знак производной на каждом промежутке.

Формулы

Алгоритм

Задачи открытого банка

Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций и экстремумов без производной.

03.10.2015

25

В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f –

монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x) с учетом области определения.

03.10.2015

26

Прототип №17

Найдите точку минимума функции

Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения.

Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.

Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.

График – парабола, ветви направлены вверх.

Прототип №18

Найдите наибольшее значение функции

Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения.

Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.

- Условие существования корня.

График – парабола, ветви направлены вниз.

Следовательно

Еще полезные ресурсы для тренировки:

http://reshuege.ru/test?theme=78

http://reshuege.ru/test?theme=81

http://reshuege.ru/test?theme=83