№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Неопределенный интеграл |
2 |
 |
§1Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. В дифференциальном исчислении решается задача: По данной функции Найти ее производную Интегральное исчисление решает обратную задачу: Если известна ее Найти функцию Производная |
3 |
 |
Определение 1. ФункцияНазывается Первообразной функции Заданной на Некотором множестве Если для Выполняется равенство |
4 |
 |
ПримерПусть Тогда первообразной для данной функции является функция Так как |
5 |
 |
Очевидно, что первообразными будут также любые функцииГде Поскольку |
6 |
 |
Таким образом, еслиИ ? Две Первообразные одной и той же функции То |
7 |
 |
Определение 2. МножествоВсех первообразных функции На множестве Называется неопределенным интегралом И обозначается |
8 |
 |
Здесь? Знак интеграла, ? Подынтегральная функция, ? Подынтегральное выражение, ? Переменная интегрирования. |
9 |
 |
Нахождение первообразной для данной функцииНазывается интегрированием функции Теорема. Для всякой непрерывной на Функции Существует на этом промежутке Первообразная, а, значит, и неопределенный интеграл. |
10 |
 |
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семействокривых, зависящих от одного параметра Которые получаются одна из другой путем Параллельного сдвига вдоль оси |
11 |
 |
Перечислим основные свойства неопределенного интеграла:1) 2) 3) |
12 |
 |
4)5) Если То Где ? Произвольная функция, имеющая Непрерывную производную. |
13 |
 |
То6) Если Для |
14 |
 |
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:1) 2) 3) |
15 |
 |
4)5) 6) 7) |
16 |
 |
8)9) 10) 11) |
17 |
 |
12)13) 14) 15) |
18 |
 |
Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными |
19 |
 |
§2Основные методы интегрирования. 2.1. Метод непосредственного интегрирования. Непосредственным интегрированием называют интегрирование с помощью свойств 3, 4 и 6, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов. |
20 |
 |
Примеры1) |
21 |
 |
2) |
22 |
 |
3) |
23 |
 |
4) |
24 |
 |
5) |
25 |
 |
|
26 |
 |
6) |
27 |
 |
7) |
28 |
 |
8) |
29 |
 |
|
30 |
 |
2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменнойНа практике часто встречаются интегралы вида Или интегралы, которые сводятся к такому виду |
31 |
 |
Подведем в этом интеграле множительПод знак дифференциала: А затем произведем подстановку В результате получим формулу подстановки в неопределенном интеграле: |
32 |
 |
|
33 |
 |
Следовательно, задача свелась к нахождению интегралаКоторый либо уже табличный, либо легко сводится к табличному, и обратной подстановке |
34 |
 |
Примеры поднесения под знак дифференциала: |
35 |
 |
|
36 |
 |
|
37 |
 |
|
38 |
 |
|
39 |
 |
|
40 |
 |
|
41 |
 |
Примеры1) |
42 |
 |
2) |
43 |
 |
3) |
44 |
 |
4) |
45 |
 |
5) |
46 |
 |
6) |
47 |
 |
7) |
48 |
 |
8) |
49 |
 |
9) |
50 |
 |
|
51 |
 |
?2.3. Метод интегрирования по частям. И Пусть дифференцируемые функции. Тогда справедлива Следующая формула интегрирования по частям: (2.1) |
52 |
 |
С помощью этой формулы вычисление интегралаСводится к отысканию другого интеграла Применение формулы целесообразно в тех случаях, когда Более прост для нахождения, чем Интеграл Исходный, либо подобен ему. |
53 |
 |
При этом в качествеСледует брать такую функцию, Которая при дифференцировании упрощается, а в качестве ? Ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден. Иногда Формулу (2.1) приходится применяться несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. |
54 |
 |
1. Интегралы вида |
55 |
 |
? Многочлен,? Число. Где Удобно положить А Соответственно. |
56 |
 |
Тогда формулу (21) надо применять столько раз, какова Раз. Степень многочлена Т.Е. |
57 |
 |
2. Интегралы вида |
58 |
 |
|
59 |
 |
В этом случаеСоответственно, А |
60 |
 |
3. Интегралы видаМожно положить Или |
61 |
 |
Примеры1) |
62 |
 |
|
63 |
 |
|
64 |
 |
2) |
65 |
 |
|
66 |
 |
2.4. Интегрирование рациональных дробейОпределение. Рациональной дробью называется функция, заданная в виде отношения двух многочленов: |
67 |
 |
Если степень многочлена числителя меньше степени многочленазнаменателя, т.е. То рациональная дробь называется правильной; В противном случае, т.Е. Если Дробь называется неправильной. |
68 |
 |
Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующихтипов: 1. 2. 3. |
69 |
 |
4.5. Где |
70 |
 |
2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробейИнтегрирование простейших рациональных дробей рассмотрим на примерах. |
71 |
 |
Примеры1) |
72 |
 |
2) |
73 |
 |
3)Выделим в знаменателе последнего подынтегрального выражения полный квадрат. |
74 |
 |
Тогда |
75 |
 |
Вернемся к интегралу: |
76 |
 |
|
77 |
 |
4)В числителе подынтегрального выражения нужно получить производную знаменателя, т.е. Тогда |
78 |
 |
|
79 |
 |
|
80 |
 |
|
81 |
 |
2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их напростейшие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления: |
82 |
 |
1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целуючасть, разделив числитель на знаменатель столбиком, т.е. представить эту дробь в виде: Где ? Многочлен, ? Правильная рациональная дробь. |
83 |
 |
2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:Где |
84 |
 |
3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей: |
85 |
 |
|
86 |
 |
|
87 |
 |
|
88 |
 |
Примеры1) |
89 |
 |
Тогда |
90 |
 |
Итак, |
91 |
 |
|
92 |
 |
2) |
93 |
 |
|
94 |
 |
|
95 |
 |
|
96 |
 |
|
97 |
 |
|
98 |
 |
|
99 |
 |
|
100 |
 |
2.5. Интегрирование иррациональных функций2.5.1. Квадратичные иррациональности. I. Интегралы вида |
101 |
 |
(2.5) |
102 |
 |
|
103 |
 |
Выделим в подкоренном выражении полный квадрат: |
104 |
 |
|
105 |
 |
|
106 |
 |
|
107 |
 |
|
108 |
 |
|
109 |
 |
|
110 |
 |
IIIИнтегралы вида ? Рациональная функция, Где Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки |
111 |
 |
Где |
112 |
 |
Пример |
113 |
 |
|
114 |
 |
|
115 |
 |
IVИнтегралы вида ? Рациональная функция, Где Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки |
116 |
 |
Где |
117 |
 |
Пример |
118 |
 |
|
119 |
 |
|
120 |
 |
IVИнтегралы вида ? Рациональная функция, Где Сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки |
121 |
 |
Где |
122 |
 |
2.6. Интегрирование тригонометрических выраженийI. Интегралы вида ? Рациональная функция аргументов Где Приводятся к интегралам от И Рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: |
123 |
 |
В результате этой подстановки имеем |
124 |
 |
|
125 |
 |
Универсальная подстановкаВо многих случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому на практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. Укажем эти случаи: ? Четная функция 1. Если Т.Е. Относительно И |
126 |
 |
То применяется подстановкаПри этом используются формулы |
127 |
 |
2. Если? Нечетная функция Относительно Т.Е. То применяется подстановка |
128 |
 |
3. Если? Нечетная функция Относительно Т.Е. То применяется подстановка |
129 |
 |
IIИнтегралы вида Находят А) при нечетном С помощью подстановки Б) при нечетном С помощью подстановки |
130 |
 |
В) если жеИ ? Четные, то подынтегральную Функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии: |
131 |
 |
|
132 |
 |
Примеры1) Так, как для подынтегральной функции Не выполняется ни одно из условий: |
133 |
 |
То будем применять универсальную тригонометрическую подстановку: |
134 |
 |
|
135 |
 |
|
136 |
 |
|
137 |
 |
|
138 |
 |
|
139 |
 |
|
140 |
 |
|
«Неопределенный интеграл» |