Презентация на тему «Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений»

Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений

2.2. Метод обратной матрицы

Формула Крамера

Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:

(2.1)

…

.

Введем матрицы:

– Матрица системы из коэффициентов при неизвестных,

– Вектор-столбец неизвестных,

– Вектор-столбец свободных членов.

Системе (2

1) соответствует матричное уравнение

. (2.2)

Другой разновидностью формы решения (2

3) является формула Крамера

,

, (2.5)

Где ? – главный определитель системы (2.1);

– Номера столбцов;

– Определитель, полученный путем замены в главном определителе системы (?) столбца коэффициентов при неизвестном xj столбцом коэффициентов свободных членов (B).

2.3. Метод Гаусса

Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

1)

,

2)

,

(2.7)

3)

,

4)

.

Изложим последовательность операций при прямом ходе.

Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений № 2, 3 системы (2

9).

.

(2.11)

Третий шаг

Разделим первое уравнение системы (2.12) на ведущий элемент , что дает

.

(2.13)

Таким образом, исходную систему (2

7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

,

,

(2.15)

,

.

Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего

уравнения системы (2.15) к первому, в процессе которого осуществляется непосредственный расчет значений x:

,

,

(2.16)

,

.

.

(2.21)

Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса:

.

(2.22)

2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений

Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:

,

,

(2.23)

…

.

Эквивалентная система уравнений:

,

,

(2.24)

…

,

Где

При

И

;

(2.25)

Итерационный процесс для системы (2

24):

(2.27)

,

Где k – номер итерации.

Для сходящегося процесса решением является

(2.28)

.

Условие сходимости:

(2.39)

,

Т.Е. Модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше суммы модулей его недиагональных коэффициентов.

Условие завершения итерационного процесса:

(2.44)

.

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Считаем, что дана линейная система, приведенная к итерационному виду (2.24):

.

(2.62)

Полагаем, что найдено k-е приближение

всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение корней будет определяться по следующим формулам:

,

,

,

…

(2.63)

,

…

,

.

Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую сходимость, чем метод

простой итерации.