Определенный интеграл

Определенный интеграл

Опр. Под определенным интегралом

От данной непрерывной функции

На отрезке

Понимается

Соответствующее приращение ее первообразной.

Данная формула называется формулой Ньютона-Лейгенца

Опр.

Для того, чтобы найти определенный интеграл, надо найти одну из

первообразных функции , т.е. функцию и найти разность

Схематично правило выглядит так:

- Подынтегральная функция;

- Подынтегральное выражение;

- Нижний предел интегрирования;

- Верхний предел интегрирования.

Теорема

Определенный интеграл не зависит от выбора первообразной для интегрирования функции.

Для всякой, непрерывной на отрезке функции, существует соответствующий определенный интеграл. Доказательство основано на теореме Коши, т.е. существует определенный интеграл, значит, существует разность значений первообразной.

Теорема.

Свойства определенного интеграла

Пусть на отрезке существует определенный интеграл

Где

4. Константу как множитель можно выносить за знак определенного

интеграла.

5. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме определенных интегралов от этих функций.

6. Если подынтегральная функция неотрицательна, то и определенный

интеграл от нее неотрицателен.

7. Теорема о среднем

Если - непрерывная функция, то определенный интеграл равен:

8

Геометрический смысл определенного интеграла

Теорема.

Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной на отрезке и численно равен площади прямолинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми с и и графиком функции

Следствие

Если линейная трапеция ограничена графиком функции прямыми б б б б для площадь вычисляется по формуле:

Связь и отличие определенных и неопределенных интегралов

Связь:

Как в неопределенном, так и в определенном интеграле нужно находить первообразную для функции

Отличие:

Неопределенный интеграл – общее выражение для всех первообразных, определенный интеграл – это число.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если

На отрезке

-

Непрерывные дифференцируемые функции, то на этом отрезке справедлива формула:

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Дано:

Введем новую переменную, связанную с формулой b непрерывна на отрезке при этом

Тогда

Приложение определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми т и осью , вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривой р непрерывна), прямыми о и осью

равна

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и м и двумя

прямыми находится по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными

оси , её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы:

Здесь непрерывные и неотрицательные функции и пересекаются в точке с абсциссой

Вычисление длины дуги

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением то

Где - абсциссы начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением то

Где - ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями то длина дуги

выражается формулой

Где - значения параметра, соответствующие концам дуги

Вычисление объема тела вращения плоской фигуры

Если тело образуется при вращении вокруг оси т криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси , будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой Объем тела вращения определяется формулой:

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции,

принадлежащей к оси , то объем тела вращения определяется формулой: