Презентация на тему «Определённый интеграл»

Определённый интеграл

Интеграл

Неопределённый

Определённый

Более подробно остановимся на «определённом интеграле»

Само слово интеграл происходит от латинского слова integer - «целый». В русском языке слово интеграция означает восстановление, воссоединение, восполнение. В математической модели речь идёт фактически о воссоединении целого по отдельным частям. Что же такое «определённый интеграл»?

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Задача 1

(О вычислении площади криволинейной трапеции)

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области

определения D(f)

Будем рассматривать её на отрезке

y

А

b

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а

x = b и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD

Поставим задачу нахождения её площади S

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0=

a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)

Тогда криволинейная трапеция разобьётся – на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

x0

xn

Рассмотрим отдельно k- й столбик , т.е. криволинейную трапецию,

основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]

У= f(x)

Xк+1

xk

Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной

f(xk)

Площадь прямоугольника равна f(хk)· ?хk, где ?хk – длина отрезка [хk,хk+1]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика.

Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то

придём к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площадь Sn, ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем : Sn = f(x0)?x0+ f(x1)?x1+f(x2)?x2+ …+ f(xk)?xk +…+f(xn-1)?xn-1;

Итак,S

Sn,причём это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn

Задача 2

(О вычислении массы стержня)

Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x

вычисляется по формуле p = p (x). Найти массу стержня. Решение. 1) разобьём отрезок [a,b] на n равных частей.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность

во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хk. Итак, мы считаем, что p = p(хk)

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

3) найдём приближённое значение массы m k-го участка: mk=p(хk)

хk, где ?хk- длина отрезка.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

4)Найдём приближённое значение массы m стержня: m

Sn, где Sn= m0 +m1+ m2+m3+…+mk+…+mn-1= = p(х0)?х0+p(x1)?х1+p(x2) ?х2+…+p(хn-1)?хn-1.

x

X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

Искомая масса равна пределу последовательности Sn

Задача 3

(О перемещении точки)

По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей

Рассмотрим промежуток времени [ ]. Будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, т.е Приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [ ]: Приближенное значение перемещения s: Точное значение перемещения вычисляется по формуле :

S – площадь криволинейной трапеции

В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.

M – массу неоднородного стержня

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

S – перемещение точки

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

S – площадь криволинейной трапеции

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

Формула Ньютона – Лейбница

Вычисление площадей плоских фигур

C

B

x=a

x=b

A

D

А

b

y=0

Пример1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5х2 + 1, y = 0, х = - 2, x = 3 .

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

[а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

Рассмотрим функцию – f(x)

Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

[а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = - х2 - 1,

у = 0, х =-1, х = 2.

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции

f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -

/2, х = ? .

Очевидно, что sin х ? 0 для всех х ? [- ? /2; 0] и sin х ? 0 для всех х ? [0; ?]. Поэтому

Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме

интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со

Знаками функции f(х) на соответствующих отрезках.

Так, площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y

= 0, х = -?/2, х = ? .

Очевидно, что sin х ? 0 для всех х ? [- ? /2; 0] и sin х ? 0 для всех х ? [0; ?]. Поэтому