Тригонометрия
<<  Выборы корней при решении тригонометрических уравнений Подробное решение тригонометрических уравнений  >>
Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения
Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения
Различные задачи
Различные задачи
Приведение уравнения
Приведение уравнения
Решите уравнение
Решите уравнение
Приведение уравнения к однородному
Приведение уравнения к однородному
Разложение левой части уравнения
Разложение левой части уравнения
Введение вспомогательного угла
Введение вспомогательного угла
Однозначность ответов
Однозначность ответов
Преобразование разности
Преобразование разности
Приведение к квадратному уравнению
Приведение к квадратному уравнению
Квадрат
Квадрат
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
Универсальная подстановка
Универсальная подстановка
Область допустимых значений
Область допустимых значений
Графики функций
Графики функций
Способы решения
Способы решения
Разложение левой части
Разложение левой части
Преобразование суммы тригонометрических функций
Преобразование суммы тригонометрических функций
Результаты двух способов решения уравнения
Результаты двух способов решения уравнения
Графическая иллюстрация
Графическая иллюстрация
Части уравнения
Части уравнения
Способ
Способ
Возведем обе части уравнения в квадрат
Возведем обе части уравнения в квадрат
Решения можно объединить
Решения можно объединить
Множители
Множители
Преобразование тригонометрических функций
Преобразование тригонометрических функций
Решения уравнения
Решения уравнения
Приведение
Приведение
Разложение левой части уравнения на множители
Разложение левой части уравнения на множители
Преобразование суммы
Преобразование суммы
Разделим обе части уравнения
Разделим обе части уравнения
Sin 2x + cos 2x = 1
Sin 2x + cos 2x = 1
Возведение обеих частей уравнения
Возведение обеих частей уравнения
Подстановка
Подстановка
? 3 sin x + cos x = 1
? 3 sin x + cos x = 1
Приведение к однородному
Приведение к однородному
Разложение
Разложение
Возведение
Возведение
3 sin x +cos x = 0, 2
3 sin x +cos x = 0, 2
Преобразование
Преобразование
Реши уравнения
Реши уравнения
Уравнения для тренировки
Уравнения для тренировки

Презентация: «Основные методы решения тригонометрических уравнений». Автор: RMU3-25. Файл: «Основные методы решения тригонометрических уравнений.ppt». Размер zip-архива: 1082 КБ.

Основные методы решения тригонометрических уравнений

содержание презентации «Основные методы решения тригонометрических уравнений.ppt»
СлайдТекст
1 Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 24» Алгебра и начала анализа 10 класс

2 Различные задачи

Различные задачи

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

2

3 Приведение уравнения

Приведение уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

3

4 Решите уравнение

Решите уравнение

?

Задача. Решите уравнение различными способами:

sin x – cos x = 1.

4

5 Приведение уравнения к однородному

Приведение уравнения к однородному

Способ первый. Приведение уравнения к однородному.

sin x – cos x = 1

,

.

sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.

Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на

Т.К., Если

Что противоречит тождеству

Получим:

5

6 Разложение левой части уравнения

Разложение левой части уравнения

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1

Далее так, как в первом способе.

6

7 Введение вспомогательного угла

Введение вспомогательного угла

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1

= sin ? /4 = cos ? /4 sin? cos? - cos ? sin ? = sin (?-?)

В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х.

7

8 Однозначность ответов

Однозначность ответов

Покажем однозначность ответов.

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1?

1 –й способ x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z

2-й способ

x = ?/4 + ( -1) ? /4 + ? k, k ? Z

x: ? /2; ?; 5 ? /2 ; 3 ? ; 9?/2; -?; - 3?/2; -3?; -7?/2…

x: ? /2; 5 ? /2 ; 9 ?/2; -3 ? /2; -7 ? /2;…

x = ? + 2 n, b Z x = ? ; 3 ? ; 5 ?; - ? ; -3 ?;…

8

9 Преобразование разности

Преобразование разности

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1

cos x = sin (? / 2 – x )

1

Запишем уравнение в виде:

Применим формулу разности двух синусов.

Далее так, как в третьем способе.

9

10 Приведение к квадратному уравнению

Приведение к квадратному уравнению

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x = 1

Возведем в квадрат:

Или

10

11 Квадрат

Квадрат

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Сделаем проверку.

Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений

11

12 Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1

sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0,

sin x = 0 x = ? n, n ? Z

Или cos x =0 x= ? /2 + ?n, n ? Z

Ответ: x = ? n, n ? Z, x= ? /2 + ?n, n ? Z.

12

13 Универсальная подстановка

Универсальная подстановка

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1

Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:

Sin x –cosx = 1

Умножим обе части уравнения на

13

14 Область допустимых значений

Область допустимых значений

Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x = ? + ? n, где n ? Z . Следует проверить , не является ли x = ? +? n, где n ? Z решением данного уравнения. Левая часть sin(? - 2?k) – cos(? + 2?k) = sin ? – cos ? = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = ? + ? n ,где n ? Z является решением данного уравнения. Ответ: : x= ? n, n ? Z, x= ? /2 + ?n, n ? Z.

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка!

14

15 Графики функций

Графики функций

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1

sin x = cos x + 1

15

16 Способы решения

Способы решения

Проверь себя !

Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. ?3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5. ? 3sin x + cos x = 1.

16

17 Разложение левой части

Разложение левой части

sin2x + cosx = 0

sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х = ? /2 + ? n; n ? Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1 ? /6 + k, k ? Z. Ответ: x = ? /2 + ? n, ; x = (-1)k+1 ? /6 + ? k , где n? Z , k ? Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

17

18 Преобразование суммы тригонометрических функций

Преобразование суммы тригонометрических функций

sin2x + cosx = 0

cosx = sin (? /2 – x ), тогда : sin2x + sin (? /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 + ? /4)cos (3x/2 - ? /4 ) = 0. sin (x/2 + ? /4) = 0 или cos (3x/2 - ? /4 ) = 0, x/2 + ? /4 = ? n 3x/2 - ? /4 = ? /2 + ? n x =- ? /2 + 2 ? n x = ? / 2+ 2 ? n/3 , n Z Ответ : x = - ? /2 + 2 ? n , x = ? / 2 + 2? n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

18

19 Результаты двух способов решения уравнения

Результаты двух способов решения уравнения

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0

2 –й способ:

4-способ: 1) x = -? /2 + ? n, n? Z , n =0, x= - ? /2, (т .В ), n =1, x =- ? /2 + 2? , (т .В ), n=-1, x= - ? /2 –2 ? , (т. В ), n=2, x = - ? / 2+ 4? ,(т .В ). 2) x = ? / 2 + 2? n/3 , n Z . n =0, x= ? /2 ( т.А ), n=1, x = 7 ? /6 ( т. D ), n= -1, x = - ? /6 (т. А), n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

x = ? /2 + ? n; n ?Z, n =0, x = ? /2 ( т. A ), n = 1, x = 3 ? /2 (т. В ), n =-1, x = - ? /2 ( т. В ), n = 2, x = ? /2 +2? (т.А) 2) x=(-1)k+1? /6 +? k;k? Z, k=0, x = - ? /6 ( т.C ), k =1, x = ? /6 + ? (т.D ), k =-1, x = ? /6 - ? (т .D), k =2,x = - ? /6+2 ? (т.C)

19

20 Графическая иллюстрация

Графическая иллюстрация

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге

Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же.

А

D

С

В

У

У

0

Х

20

21 Части уравнения

Части уравнения

?3 sin x – cos x = 0

cos x ? 0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. ?3 tg x = 1, tg x = 1/ ?3 , x = ? /6 + n , n ? Z. Ответ: x = ? /6 + ? n, n ? Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

21

22 Способ

Способ

?3 sin x – cos x = 0

?3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. ?3/2sin x – ?cos x = 0, sin x cos ? /6 – cos x sin ? /6 = 0, sin (x - ? /6) = 0, x - ? /6 = ? n , n ? Z, x = ? /6 + ? n , n ? Z. Ответ : x = ? /6 + ? n, n ? Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

22

23 Возведем обе части уравнения в квадрат

Возведем обе части уравнения в квадрат

?3 sin x – cos x = 0

?3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 ?3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x ? 0. 3 tg2x – 2?3 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x = ? 3/ 3; x = ? /6 + ? n, n ? Z. Ответ :x = ? /6 + ? n, n ? Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ).

Уравнения в

23

24 Решения можно объединить

Решения можно объединить

?3 sin x – cos x = 0

-

=

= 0,

=0,

=

=

sin x=

=

sin x =

=

=

=

cos x=

sin x =

? 3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , ?3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 ?3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 ? 0, tg 2 x/2 + 2 ?3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 ?3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - ?3 - 2, m2 = - ?3 + 2, 1) tg x = - ?3 - 2, 2(- ?3 - 2 ) - 2(?3 + 2 ) - 2(?3 + 2 ) - 1 1 +( - ?3 - 2)2 8-4 ?3 4( 2+ ?3 ) 2 , sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1? /6 + ? k, k ?? Z; 2) tg x = - ?3 + 2, 2(- ?3 + 2 ) - 2(?3 - 2 ) - 2(?3 - 2 ) 1 1 +( - ?3 + 2)2 8-4 ?3 4( 2- ?3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Ответ: x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

24

25 Множители

Множители

sin 6x + sin 3x = 0

sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x = ? n, n ? Z, cos 3x = -?, x = ? n/3, n ? Z , x = 2 ? /9 + 2 ? n /3, n ? Z. Ответ: x = ? n/3, n ? Z; x = 2 ? /9 + 2 ? n /3, n ? Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

25

26 Преобразование тригонометрических функций

Преобразование тригонометрических функций

sin 6x + sin 3x = 0

sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 = ? n, n ? Z, 3x /2 = ? /2 + ? n, n ? Z, x = 2 ? n/9, n ? Z; x = ? /3 + 2 ? n/3, n ? Z . Ответ: x = 2 ? n/9, n? Z; x = ? /3 + 2 ? n/3, n? Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

26

27 Решения уравнения

Решения уравнения

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами.

Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

27

28 Приведение

Приведение

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x = ? n, n ? Z, tg x = 1, x = ? /4 + n, n ? Z. Ответ: ? n, n ? Z, x = ? /4 + n, n ? Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

28

29 Разложение левой части уравнения на множители

Разложение левой части уравнения на множители

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

29

30 Преобразование суммы

Преобразование суммы

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin (? /2 – 2x ) = 1, 2sin ? /4 cos ( 2x - ? /4 ) = 1, sin ? /4 = 1/? 2 , ? 2 cos ( 2x - ? /4 )= 1 arksin (1 / ? 2 ) = ? /4 . cos ( 2x - ? /4 )= 1 / ? 2 , 2x - ? /4 = ?arkcos (1 / ? 2 ) + 2 ? n, n ? Z, 2x= ? /4 ?arkcos( 1 / ? 2 ) + 2 ? n, n ? Z, x= ? /8? ? /8 + ? n, n ? Z. Ответ: x= ? /8? ? /8 + ? n, n ? Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

30

31 Разделим обе части уравнения

Разделим обе части уравнения

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на? 2, 1/?2 sin 2x + 1/? 2 cos 2x = 1/? 2 , cos ?/4 sin 2x + sin ?/4 cos 2x = 1/? 2, sin (2x + ?/4 ) = 1/? 2, 2x + ?/4 = (- 1)k ? /4 + ? k, k?Z, 2x = - ?/4 + (- 1) k? /4 + ? k, k?Z, x = - ? /8 +(- 1)k ? /8 + ? k/2, k?Z. Ответ: x = - ? /8 +(- 1)k ? /8 + ? k/2, k?Z. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

31

32 Sin 2x + cos 2x = 1

Sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x = ? ? ( 1 - sin 2 2x ) sin 2x ? ? ( 1 - sin 2 2x ) = 1, ? ? ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0, 2x = ? n, sin 2x = 1, x = ? n/2, n ? Z ; 2x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z, x = ? /4 + ? n, n ? Z. Ответ: x = ? n/2, n ? Z ; x = ? /4 + ? n, n ? Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

32

33 Возведение обеих частей уравнения

Возведение обеих частей уравнения

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x = ? n, n ? Z ; 2x = ? / 2 + 2 ? n , n ? Z, x = ? n/2, n ? Z ; x = ? / 4 + ? n , n ? Z. Ответ: ? / 2 + 2 ? n , n ? Z; x = ? / 4 + ? n , n ? Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

33

34 Подстановка

Подстановка

sin 2x + cos 2x = 1

= 0

+

sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2 ? 0, 2tg 2 x - 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x = ? n/2, n? Z , 2x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z, x = ? /4 + ? n, n ?Z. Ответ: x = ? n/2, n? Z ; x = ? /4 + ? n, n ?Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

sin 2x =

cos2 x =

34

35 ? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, ? 3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos ?/6 sin x + sin ? /6 cos x = 1/2 , Sin ( x + ? /6 ) = 1 / 2 , x+ ? /6 = (- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z, x = - ? /6 +(- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z, Ответ :x = - ? /6 +(- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

35

36 Приведение к однородному

Приведение к однородному

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 2? 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2? 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 (? 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0, ? 3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 = ? 3 cos x/2 , x/2= ? n, n ? Z, tg x/2 = ? 3 , x = 2? n, n ? Z , x/2 = ? /3 + ? n, n ? Z, x = 2 ? /3 + 2 ? n, n ? Z. Ответ: x = 2? n, n ? Z , x = 2? n, n ? Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

36

37 Разложение

Разложение

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 2? 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2? 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2? 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 (? 3 sin x/2 - cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

37

38 Возведение

Возведение

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2 ? 3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2 ? 3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2 ? 3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x + ? 3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x + ? 3 cos x = 0, x = ? n , n? Z, tg x = -? 3 , x = - ? /3 + ? n, n ? Z . Ответ : x = ? n , n? Z, x = - ? /3 + ? n, n ? Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

38

39 3 sin x +cos x = 0, 2

3 sin x +cos x = 0, 2

? 3 sin x + cos x = 1

+

=1,

? 3 sin x +cos x = 0, 2 ? 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 ?3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 2?3 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2 ? 0, 2 tg 2 x/2 + 2?3 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + ?3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = -? 3 , x/2 = ? n , n? Z, x/2 = - ? /3 + ? n , n? Z, x = 2? n , n? Z, x = - 2? /3 + 2? n , n? Z. Ответ: x = 2? n , n? Z, x = - 2? /3 + 2? n , n? Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).

sin x =

cos x =

39

40 Преобразование

Преобразование

Подведем итоги

1

2

3

4

5

6

7

8

1 sin2x + cosx = 0

2 sin6x + sin3x = 0

3 sin6x + sin3x = 0

4 sin2x +cos2x = 1

5 ?3sin x + cos x = 1

1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

40

41 Реши уравнения

Реши уравнения

Оцени себя сам

Реши уравнения : Ответы: 6. ? 3 sin x + cos x = 2, 1. x = ? /4 + ? n, n ? Z; 7. ? 3 sin x – cos x = ? 2, 2. x = ? /3 + ? n, n ? Z; 8. sin x + cos x = ? 2, 3. x =? /6 +(- 1)k ? /4 + ? k, ?Z; 9. cos 2x – cos 4x = 0, 4. x = ? /3 + 2? n, n ? Z; 10. sin x - ? 3 cos x = 0. 5.x = ? n /3, n? Z; x = ? n, n? Z. Ключ к ответам:

6

7

8

9

10

4

3

1

5

2

Номер уравнения

Номер ответа

41

42 Уравнения для тренировки

Уравнения для тренировки

Желаем успеха!

Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля

42

«Основные методы решения тригонометрических уравнений»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/osnovnye-metody-reshenija-trigonometricheskikh-uravnenij-54915.html
cсылка на страницу

Тригонометрия

20 презентаций о тригонометрии
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Тригонометрия > Основные методы решения тригонометрических уравнений