Основные методы решения тригонометрических уравнений

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 24» Алгебра и начала анализа 10 класс

Различные задачи

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

2

Приведение уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

3

Решите уравнение

?

Задача. Решите уравнение различными способами:

sin x – cos x = 1.

4

Приведение уравнения к однородному

Способ первый. Приведение уравнения к однородному.

sin x – cos x = 1

,

.

sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.

Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на

Т.К., Если

Что противоречит тождеству

Получим:

5

Разложение левой части уравнения

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1

Далее так, как в первом способе.

6

Введение вспомогательного угла

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1

= sin ? /4 = cos ? /4 sin? cos? - cos ? sin ? = sin (?-?)

В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х.

7

Однозначность ответов

Покажем однозначность ответов.

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1?

1 –й способ x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z

2-й способ

x = ?/4 + ( -1) ? /4 + ? k, k ? Z

x: ? /2; ?; 5 ? /2 ; 3 ? ; 9?/2; -?; - 3?/2; -3?; -7?/2…

x: ? /2; 5 ? /2 ; 9 ?/2; -3 ? /2; -7 ? /2;…

x = ? + 2 n, b Z x = ? ; 3 ? ; 5 ?; - ? ; -3 ?;…

8

Преобразование разности

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1

cos x = sin (? / 2 – x )

1

Запишем уравнение в виде:

Применим формулу разности двух синусов.

Далее так, как в третьем способе.

9

Приведение к квадратному уравнению

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x = 1

Возведем в квадрат:

Или

10

Квадрат

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Сделаем проверку.

Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений

11

Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1

sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0,

sin x = 0 x = ? n, n ? Z

Или cos x =0 x= ? /2 + ?n, n ? Z

Ответ: x = ? n, n ? Z, x= ? /2 + ?n, n ? Z.

12

Универсальная подстановка

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1

Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:

Sin x –cosx = 1

Умножим обе части уравнения на

13

Область допустимых значений

Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x = ? + ? n, где n ? Z . Следует проверить , не является ли x = ? +? n, где n ? Z решением данного уравнения. Левая часть sin(? - 2?k) – cos(? + 2?k) = sin ? – cos ? = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = ? + ? n ,где n ? Z является решением данного уравнения. Ответ: : x= ? n, n ? Z, x= ? /2 + ?n, n ? Z.

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка!

14

Графики функций

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1

sin x = cos x + 1

15

Способы решения

Проверь себя !

Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. ?3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5. ? 3sin x + cos x = 1.

16

Разложение левой части

sin2x + cosx = 0

sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х = ? /2 + ? n; n ? Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1 ? /6 + k, k ? Z. Ответ: x = ? /2 + ? n, ; x = (-1)k+1 ? /6 + ? k , где n? Z , k ? Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

17

Преобразование суммы тригонометрических функций

sin2x + cosx = 0

cosx = sin (? /2 – x ), тогда : sin2x + sin (? /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 + ? /4)cos (3x/2 - ? /4 ) = 0. sin (x/2 + ? /4) = 0 или cos (3x/2 - ? /4 ) = 0, x/2 + ? /4 = ? n 3x/2 - ? /4 = ? /2 + ? n x =- ? /2 + 2 ? n x = ? / 2+ 2 ? n/3 , n Z Ответ : x = - ? /2 + 2 ? n , x = ? / 2 + 2? n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

18

Результаты двух способов решения уравнения

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0

2 –й способ:

4-способ: 1) x = -? /2 + ? n, n? Z , n =0, x= - ? /2, (т .В ), n =1, x =- ? /2 + 2? , (т .В ), n=-1, x= - ? /2 –2 ? , (т. В ), n=2, x = - ? / 2+ 4? ,(т .В ). 2) x = ? / 2 + 2? n/3 , n Z . n =0, x= ? /2 ( т.А ), n=1, x = 7 ? /6 ( т. D ), n= -1, x = - ? /6 (т. А), n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

x = ? /2 + ? n; n ?Z, n =0, x = ? /2 ( т. A ), n = 1, x = 3 ? /2 (т. В ), n =-1, x = - ? /2 ( т. В ), n = 2, x = ? /2 +2? (т.А) 2) x=(-1)k+1? /6 +? k;k? Z, k=0, x = - ? /6 ( т.C ), k =1, x = ? /6 + ? (т.D ), k =-1, x = ? /6 - ? (т .D), k =2,x = - ? /6+2 ? (т.C)

19

Графическая иллюстрация

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге

Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же.

А

D

С

В

У

У

0

Х

20

Части уравнения

?3 sin x – cos x = 0

cos x ? 0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. ?3 tg x = 1, tg x = 1/ ?3 , x = ? /6 + n , n ? Z. Ответ: x = ? /6 + ? n, n ? Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

21

Способ

?3 sin x – cos x = 0

?3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. ?3/2sin x – ?cos x = 0, sin x cos ? /6 – cos x sin ? /6 = 0, sin (x - ? /6) = 0, x - ? /6 = ? n , n ? Z, x = ? /6 + ? n , n ? Z. Ответ : x = ? /6 + ? n, n ? Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

22

Возведем обе части уравнения в квадрат

?3 sin x – cos x = 0

?3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 ?3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x ? 0. 3 tg2x – 2?3 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x = ? 3/ 3; x = ? /6 + ? n, n ? Z. Ответ :x = ? /6 + ? n, n ? Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ).

Уравнения в

23

Решения можно объединить

?3 sin x – cos x = 0

-

=

= 0,

=0,

=

=

sin x=

=

sin x =

=

=

=

cos x=

sin x =

? 3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , ?3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 ?3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 ? 0, tg 2 x/2 + 2 ?3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 ?3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - ?3 - 2, m2 = - ?3 + 2, 1) tg x = - ?3 - 2, 2(- ?3 - 2 ) - 2(?3 + 2 ) - 2(?3 + 2 ) - 1 1 +( - ?3 - 2)2 8-4 ?3 4( 2+ ?3 ) 2 , sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1? /6 + ? k, k ?? Z; 2) tg x = - ?3 + 2, 2(- ?3 + 2 ) - 2(?3 - 2 ) - 2(?3 - 2 ) 1 1 +( - ?3 + 2)2 8-4 ?3 4( 2- ?3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Ответ: x = ( -1 ) k ? /6 + ? k, k ?? Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

24

Множители

sin 6x + sin 3x = 0

sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x = ? n, n ? Z, cos 3x = -?, x = ? n/3, n ? Z , x = 2 ? /9 + 2 ? n /3, n ? Z. Ответ: x = ? n/3, n ? Z; x = 2 ? /9 + 2 ? n /3, n ? Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

25

Преобразование тригонометрических функций

sin 6x + sin 3x = 0

sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 = ? n, n ? Z, 3x /2 = ? /2 + ? n, n ? Z, x = 2 ? n/9, n ? Z; x = ? /3 + 2 ? n/3, n ? Z . Ответ: x = 2 ? n/9, n? Z; x = ? /3 + 2 ? n/3, n? Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

26

Решения уравнения

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами.

Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

27

Приведение

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x = ? n, n ? Z, tg x = 1, x = ? /4 + n, n ? Z. Ответ: ? n, n ? Z, x = ? /4 + n, n ? Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

28

Разложение левой части уравнения на множители

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

29

Преобразование суммы

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin (? /2 – 2x ) = 1, 2sin ? /4 cos ( 2x - ? /4 ) = 1, sin ? /4 = 1/? 2 , ? 2 cos ( 2x - ? /4 )= 1 arksin (1 / ? 2 ) = ? /4 . cos ( 2x - ? /4 )= 1 / ? 2 , 2x - ? /4 = ?arkcos (1 / ? 2 ) + 2 ? n, n ? Z, 2x= ? /4 ?arkcos( 1 / ? 2 ) + 2 ? n, n ? Z, x= ? /8? ? /8 + ? n, n ? Z. Ответ: x= ? /8? ? /8 + ? n, n ? Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

30

Разделим обе части уравнения

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на? 2, 1/?2 sin 2x + 1/? 2 cos 2x = 1/? 2 , cos ?/4 sin 2x + sin ?/4 cos 2x = 1/? 2, sin (2x + ?/4 ) = 1/? 2, 2x + ?/4 = (- 1)k ? /4 + ? k, k?Z, 2x = - ?/4 + (- 1) k? /4 + ? k, k?Z, x = - ? /8 +(- 1)k ? /8 + ? k/2, k?Z. Ответ: x = - ? /8 +(- 1)k ? /8 + ? k/2, k?Z. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

31

Sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x = ? ? ( 1 - sin 2 2x ) sin 2x ? ? ( 1 - sin 2 2x ) = 1, ? ? ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0, 2x = ? n, sin 2x = 1, x = ? n/2, n ? Z ; 2x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z, x = ? /4 + ? n, n ? Z. Ответ: x = ? n/2, n ? Z ; x = ? /4 + ? n, n ? Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

32

Возведение обеих частей уравнения

sin 2x + cos 2x = 1

sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x = ? n, n ? Z ; 2x = ? / 2 + 2 ? n , n ? Z, x = ? n/2, n ? Z ; x = ? / 4 + ? n , n ? Z. Ответ: ? / 2 + 2 ? n , n ? Z; x = ? / 4 + ? n , n ? Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

33

Подстановка

sin 2x + cos 2x = 1

= 0

+

sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2 ? 0, 2tg 2 x - 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x = ? n/2, n? Z , 2x = ? /2 + 2 ? n, n ? Z, x = ? /4 + ? n, n ?Z. Ответ: x = ? n/2, n? Z ; x = ? /4 + ? n, n ?Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

sin 2x =

cos2 x =

34

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, ? 3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos ?/6 sin x + sin ? /6 cos x = 1/2 , Sin ( x + ? /6 ) = 1 / 2 , x+ ? /6 = (- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z, x = - ? /6 +(- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z, Ответ :x = - ? /6 +(- 1 ) k ? /6 + ? k, k ?Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

35

Приведение к однородному

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 2? 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2? 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 (? 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0, ? 3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 = ? 3 cos x/2 , x/2= ? n, n ? Z, tg x/2 = ? 3 , x = 2? n, n ? Z , x/2 = ? /3 + ? n, n ? Z, x = 2 ? /3 + 2 ? n, n ? Z. Ответ: x = 2? n, n ? Z , x = 2? n, n ? Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

36

Разложение

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 2? 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2? 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2? 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 (? 3 sin x/2 - cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

37

Возведение

? 3 sin x + cos x = 1

? 3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2 ? 3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2 ? 3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2 ? 3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x + ? 3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x + ? 3 cos x = 0, x = ? n , n? Z, tg x = -? 3 , x = - ? /3 + ? n, n ? Z . Ответ : x = ? n , n? Z, x = - ? /3 + ? n, n ? Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

38

3 sin x +cos x = 0, 2

? 3 sin x + cos x = 1

+

=1,

? 3 sin x +cos x = 0, 2 ? 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 ?3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 2?3 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2 ? 0, 2 tg 2 x/2 + 2?3 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + ?3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = -? 3 , x/2 = ? n , n? Z, x/2 = - ? /3 + ? n , n? Z, x = 2? n , n? Z, x = - 2? /3 + 2? n , n? Z. Ответ: x = 2? n , n? Z, x = - 2? /3 + 2? n , n? Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).

sin x =

cos x =

39

Преобразование

Подведем итоги

1

2

3

4

5

6

7

8

1 sin2x + cosx = 0

2 sin6x + sin3x = 0

3 sin6x + sin3x = 0

4 sin2x +cos2x = 1

5 ?3sin x + cos x = 1

1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

40

Реши уравнения

Оцени себя сам

Реши уравнения : Ответы: 6. ? 3 sin x + cos x = 2, 1. x = ? /4 + ? n, n ? Z; 7. ? 3 sin x – cos x = ? 2, 2. x = ? /3 + ? n, n ? Z; 8. sin x + cos x = ? 2, 3. x =? /6 +(- 1)k ? /4 + ? k, ?Z; 9. cos 2x – cos 4x = 0, 4. x = ? /3 + 2? n, n ? Z; 10. sin x - ? 3 cos x = 0. 5.x = ? n /3, n? Z; x = ? n, n? Z. Ключ к ответам:

6

7

8

9

10

4

3

1

5

2

Номер уравнения

Номер ответа

41

Уравнения для тренировки

Желаем успеха!

Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля

42