«Первообразная

«Первообразная

Неопределенный интеграл».

Учитель математики МКОУ СОШ№5 Цуканова Зоя Ивановна

По заданным производным найдите исходные функции

Дифференцирование

Интегрирование

Первообразная

Обозначения:

Функция F называется первообразной для функции f, если выполняется условие

Найдите производные функций:

Совокупность первообразных

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных F(x)+c для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

Где f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение (дифференциал), с – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

1) 2)

Немного истории

«Интеграл» - латинское слово integro – “восстанавливать” или integer – “целый”. Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать функции по их производным. Впервые это слово употребил в печати швецкий ученый Я. Бернулли (1690 г.).

Немного истории

Знак ? - стилизованная буква S от латинского слова summa – “сумма”. Впервые появился у Г.В. Лейбница в 1686 году.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)

« Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц

Исаак Ньютон (1643-1727)

Разумом он превосходил род человеческий. Лукреций

Применение интеграла

Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Центр масс Формула энергии заряженного конденсатора

Применение интеграла к вычислению площадей различных фигур

Геометрический смысл определенного интеграла

Определение: Фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b , называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла

S

Теорема: Определенный интеграл от a до b функции f(x) равен площади S соответствующей криволинейной трапеции , т.е.

C

Y

y=f(x)

B

А

b

X

Возможные случаи:

S

1)

a

b

y=f(x)

2)

y=f(x)

S1

b

c

a

S2

Возможные случаи:

S

3)

Y

y=f(x)

y=g(x)

S1

S2

c

X

a

b

4)

y=f(x)

Y

y=g(x)

a

b

X

Как найти площадь фигуры

Как найти площадь фигуры

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью Х

Пример:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х? и у=0

Решение: 1. у = 4 - х?- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4) у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: 4-х?= 0; х? = 4 х = -2 или х = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

Домашнее задание:

Выучить таблицу первообразных. Прочитать п. 48.

48.1-48.7 под б)в) 48.10-4812.Б)*в)*