Первообразная

Первообразная

Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9–15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести.

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития интегрального исчисления. Античный метод «неделимых» был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем – работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм интегрального счисления были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла.

Первообразная и неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную. При этом, если производная существует в каждой точке x некоторого промежутка I, то это также некоторая функция f(x) на I, такая, что f(x)=F?(x)

Первообразная и неопределенный интеграл

Часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F?(x) = f(x) Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. При этом функция F(x), удовлетворяющая этому условию, называется первообразной функции f(x).

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция F(x), определенная на некотором промежутке I, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех x ?I F? (x)=f(x), или, что, то же самое, dF(x)=f(x)dx. Теорема. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке I, то функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, – также является первообразной для функции f(x) на промежутке I, причем любая другая первообразная Ф(x) функции f(x) на промежутке I может быть записана в виде Ф(x)= F(x)+С.

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x), определенных на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке I и обозначается символом

Первообразная и неопределенный интеграл

Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке I, то согласно определению 2 имеем Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, символ ? – знаком неопределенного интеграла, C – постоянной интегрирования.

Основные свойства интеграла

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Основные свойства интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Основные свойства интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Основные свойства интеграла

Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла, т.е. если с=const?0, то

Основные свойства интеграла

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Таблица интегралов

Таблица интегралов

Таблица интегралов

Пример

Найти Решение: Применив свойства 4 и 5 и табличные интегралы 1, 2 и 11, находим:

Упражнения

Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой:

Упражнения

Найдите интегралы: