Интегралы
<<  Первообразная «Первообразная  >>
Первообразная
Первообразная
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Основы интегрального исчисления
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Основные свойства интеграла
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Пример
Пример
Упражнения
Упражнения
Упражнения
Упражнения

Презентация: «Первообразная». Автор: NB. Файл: «Первообразная.pptx». Размер zip-архива: 456 КБ.

Первообразная

содержание презентации «Первообразная.pptx»
СлайдТекст
1 Первообразная

Первообразная

Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление

2 Основы интегрального исчисления

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.

3 Основы интегрального исчисления

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9–15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести.

4 Основы интегрального исчисления

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития интегрального исчисления. Античный метод «неделимых» был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем – работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

5 Основы интегрального исчисления

Основы интегрального исчисления

Историческая справка.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм интегрального счисления были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла.

6 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную. При этом, если производная существует в каждой точке x некоторого промежутка I, то это также некоторая функция f(x) на I, такая, что f(x)=F?(x)

7 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F?(x) = f(x) Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. При этом функция F(x), удовлетворяющая этому условию, называется первообразной функции f(x).

8 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция F(x), определенная на некотором промежутке I, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех x ?I F? (x)=f(x), или, что, то же самое, dF(x)=f(x)dx. Теорема. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке I, то функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, – также является первообразной для функции f(x) на промежутке I, причем любая другая первообразная Ф(x) функции f(x) на промежутке I может быть записана в виде Ф(x)= F(x)+С.

9 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x), определенных на некотором промежутке I, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке I и обозначается символом

10 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке I, то согласно определению 2 имеем Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, символ ? – знаком неопределенного интеграла, C – постоянной интегрирования.

11 Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

12 Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

13 Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

14 Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла

Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла, т.е. если с=const?0, то

15 Основные свойства интеграла

Основные свойства интеграла

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

16 Таблица интегралов

Таблица интегралов

17 Таблица интегралов

Таблица интегралов

18 Таблица интегралов

Таблица интегралов

19 Пример

Пример

Найти Решение: Применив свойства 4 и 5 и табличные интегралы 1, 2 и 11, находим:

20 Упражнения

Упражнения

Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой:

21 Упражнения

Упражнения

Найдите интегралы:

«Первообразная»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/pervoobraznaja-232144.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды