Первообразная

Первообразная

F(х)+С

F(х)+С

F(х)+С

F(х)+С

F(х)+С

Под дифференцированием функции f(x) понимают нахождение её производной

Например: (х4)' =4х3 Нахождение функции f(x) по заданной производной f '(x) называют операцией интегрирования. Например: пусть f(x)= 4х3 . Найти F(х). F(х) =х4 , т. к. (х4)' =4х3

Определение

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(х)= f(x). Например, функция F (х)= – первообразная для функции f(x)=х2 на интервале (-?; ?), т. к. F'(х)= Общее решение можно записать:

Признак постоянства функции

Если F? (x) = 0 на заданном промежутке, то данная функция постоянна на этом промежутке

Геометрический смысл первообразной

График любой первообразной F (x) + С можно получить с помощью параллельного переноса графика F (x) вдоль оси y. Для нахождения конкретной первообразной из всего множества F (x) + С , надо задать дополни- тельные условия. Например: координаты точки, через которую проходит график данной первообразной

Основное свойство первообразных

Признак постоянства функции.Если F'(х)= 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянна на этом промежутке. Основное свойство первообразных. Любая первообразная для f на промежутке I может быть записана в виде: F(х)+С, где F(х)- одна из первообразных для функции f (х) на промежутке I, а С- произвольная постоянная.

Таблица первообразных

0

1

2

C

x

x2

x3

X n

1 ?x

1 x2

C

x

2x

Cx

X2 2

X3 3

X4 4

Xn+1 n+1

2?x

_ 1 x

cos x

cos x

sin x

sin x

1 cos2 x

1 cos2 x

1 sin2 x

1 sin2 x

sin x

sin x

- cos x

- cos x

tg x

tg x

- ctg x

- ctg x

Функция У = f (x)

Первоо-бразная F (x)

Функция У = f (x)

Первоо-бразная F (x)

Таблица первообразных

kf(x)

kF(x)

f(x)+g(x)

F(x)+G(x)

K (постоянная)

kx

x n (nЄZ, n?-1)

sin x

- cos x

cos x

sin x

tg x

-ctg x

Функция f(x)

Первообразная F(x)

Три правила нахождения первообразных

Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G- первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k –постоянная, то функция kF–первообразная для kf. Правило 3. Если F(х) есть первообразная для f(х), а k и b- постоянные, причём k?0, то 1/kF(kх+b) есть первообразная для f(kх+b).

Вариант 1(5) Найдите все первообразные функции f(x)=x4+3x2+5

Вариант 2(5) Найдите все первообразные функции f(x)=x3-3x2+х-1. Вариант 24(5) Найдите все первообразные функции f(x)=x4+3х. Вариант 27(5) Найдите все первообразные функции f(x)=4х-x2.

Вариант 49(5) Найдите все первообразные функции f(x)=2x3-6x2+х-1

Вариант 61(5) Найдите все первообразные функции f(x)=x5+2х. Вариант 68(5) Найдите все первообразные функции f(x)=2х+x3. Вариант 72(5) Найдите все первообразные функции f(x)=x5- x2. Вариант 74(5) Найдите все первообразные функции f(x)=3x4-1.

Вариант 20(5) Найдите все функции, которые имеют одну и ту же

производную: f(x)=х+5. Вариант 34(5) Найдите функции, производной которых является функция f(x)=2x+x2. Вариант 56(5) Найдите все функции, имеющие производную, равную x2- 4x. Вариант 63(5) Найдите функции, имеющие производную y=3x+x2. Вариант 64(5) Найдите все функции, имеющие производную y=x2- 3x. Вариант 94(5) Найдите все функции, имеющие производную y'=2x-x2.

Вариант 7(5) Является ли функция F(x)=x3-3x+1 первообразной функции

f(x)=3(x2-1) ? Вариант 28(5) Является ли функция F(x)=x3+3x-5 первообразной функции f(x)=3(x2+1) ? Вариант 32(5) Является ли функция F(x)=x4-3x2+1 первообразной функции f(x)=4x3-x2 +х ?

Вариант 90(5) Для какой из функций f(x)=6(x2-1), g(x)=6x2-6x+1 и

q(x)=6x(x-1) функция F(x)=2x3-3x2+1 является первообразной? Вариант 35(5) Для какой из функций f(x)=3(x2-2), g(x)=3x(x2-2) и q(x)= 3x2-6x+1 функция F(x)=x3-3x2+1 является первообразной? Вариант 42(5) Для какой из функций f(x)=4x3-8x+1, g(x)= 4(x3-2) и q(x)=4x(x2-2) функция F(x)=x4-4x2+1 является первообразной?

Вариант 9(5) Найдите первообразную функции f(x)=x2-5, график которой

проходит через точку (3;4). Вариант 16(5) Найдите первообразную функции f(x)=4-x2, график которой проходит через точку (-3;10). Вариант 17(5) Найдите первообразную функции f(x)=2x2+3, график которой проходит через точку (-2;-5).

Вариант 21(5) Найдите первообразную функции f(x)=3x-5, график которой

проходит через точку (4;10). Вариант 36(5) Найдите первообразную функции f(x)=х-2x3, график которой пересекает ось ординат в точке (0;3). Вариант 66(5) Найдите первообразную функции f(x)=5х+x2, график которой проходит через точку (0;3).

Вариант 70(5) Найдите первообразную функции f(x)=3x2-5, график которой

проходит через точку (2;10). Вариант 88(5) Найдите первообразную функции f(x)=5x+7, график которой проходит через точку (-2;4). Вариант 89(5) Найдите первообразную функции f(x)=х-x2, график которой пересекает ось ординат в точке (2;10).

Вариант 50(5) Найдите первообразную функции f(x)=10x4+х, значение

которой при х=0 равно 6. Вариант 4(5) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x)=4+6х2, значение которой при х=2 отрицательно.

Вариант 71(5) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x)=2х3+х2+3

которая принимает положительное значение при х=2. Вариант 14(5) Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x)=4х3-х2+2, которая принимает отрицательное значение при х=1.

Криволинейная трапеция

Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции у = f (x), определённой на отрезке [a ; b]. Криволинейной трапецией ABCD называется фигура, ограниченная графиком функции у = f (x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс (осью х).

Площадь криволинейной трапеции

Теорема: Если у = f (x) непрерывная неотрицательная функция на отрезке [a ; b], а F(x) - первообразная для f (x) на этом отрезке, то S площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a ; b], т.е. S = F (b) –F (a)

Упр 1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком

функции f(x)=х2, прямыми y=0, х=1 и х=2.

Ответ:

Вариант 5(5) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

f(x)=х2+5х+6, прямыми х=-1, х=2 и осью абсцисс. Вариант 11(5) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=х2-6х+8, прямыми х=-2, х=-1 и осью абсцисс.