Презентация на тему «Первообразная»

Первообразная

Определение

Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интегралов сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции. Рассмотрим эту операцию отдельно. О п р е д е л е н и е. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции. Иными словами, равенство F? = f можно прочесть двумя способами: f – производная функции F или F – первообразная для функции f. Для обозначения первообразной традиционно используют знак неопределенного интеграла, т.е. интеграла без указания пределов интегрирования:

Свойства первообразной

1. Если F – первообразная для функции f, то F + C, где C - константа, также является первообразной для той же функции. (F+С)? = F ? + С ? = f + 0 = f. 2. Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если F1? = f и F2? = f, то (F1 – F2)? = F1? – F2? = f – f = 0. F1 – F2 = С. 3. Действительно, пусть F и G – первообразные для функции f и g соответственно. Тогда F +G является первообразной для функции f+g: (F + G)? = F ? + G ? = f + g 4.

Линейная замена переменной

5. Линейная замена переменной. Т е о р е м а. Пусть F – первообразная для функции f. Тогда Действительно, вычислим производную от F(kx+b): ( ·F(kx+b))? = ·F? (kx+b) = ·k ·f(kx+b) = f(kx+b). Отсюда является первообразной для функции f(kx+b). Заметим, что операция дифференцирования совершается формально – нужно запомнить несколько правил, а их будет достаточно для нахождения производных. Не так обстоит дело с интегрированием, например нет формулы для интегрирования произведения и частного функций. Поэтому составлены обширные таблицы интегралов (первообразных) и появляется новая задача – научиться преобразовывать вычисляемые интегралы, сводя их к табличным.

Таблица первообразных

Таблицу первообразных получают с помощью таблицы производных. Проверить таблицу можно, делая обратную операцию, т.е. вычисляя производные.

Решение задач

Примеры нахождения первообразных

1.

2.

3.

Решение задач

Является ли функция F(x) = x3 + 2x2 - 3x + 20 первообразной для функции f(x) = 3x2 + 4x - 3?

Решение:

Функция F(x) = x3 + 2x2 - 3x + 20 будет являться первообразной для функции f(x) = 3x2 + 4x - 3, если F ’(x)=f(x)

F ’(x) = (x3 + 2x2 - 3x + 20)’=

3x2 + 4x - 3 =

f(x)

Вывод. Функция F(x) является первообразной для функции f(x)

4.

Решение задач

Найдите первообразную для функции

график которой проходит через точку М(0; 1)

Решение:

Т.к. точка М(0; 1) принадлежит графику функции F(x), то F(0)=1:

Таким образом:

5.

Графики первообразных для функции

Р е ш е н и е :

Задачи для самостоятельного решения

Первообразная функции y = 2x9 равна:

Первообразная функции y = 4x3 равна:

Первообразная функции y = -5x равна:

Первообразная функции y = 1 равна:

Найдите первообразную F(x) функции y = 2x9 + 4x3 – 5x + 1.

Таким образом:

?

Р е ш е н и е :

Задачи для самостоятельного решения

Найдите первообразную F(x) для функции

график которой проходит через точку М ( -0,5; 2 )

Т.к. точка М(-0,5; 2) принадлежит графику функции F(x), то F(-0,5)=2:

Или

Или

Или

Показать графики

Графики первообразных для функции

Не правильно

Лейбниц Готфрид Вильгельм

(1646—1716) Немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, ввел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов. «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx, — ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед». Г. В. Лейбниц

Правильно

Ньютон Исаак

(1643—1727) Английский физик и математик. Создал современную механику (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. В его главном сочинении «Математические начала натуральной философии» дан математический вывод основных фактов о движении небесных тел. Один из создателей дифференциального и интегрального исчисления. «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад». И. Ньютон

Презентацию разработал Мулёвкин Антон Михайлович учитель информатики и

математики МОУ Остафьевской средней общеобразовательной школы Подольского района Московской области