Презентация на тему «Подробное решение тригонометрических уравнений»

Методы решения тригонометрических уравнений

Учитель математики Жихарева Е. Н. МКОУ «Гоношихинская СОШ»

Уравнение

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений: 1 Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ). 2. Разложение на множители. 3. Приведение к однородному уравнению. 4. Переход к половинному углу. 5. Введение вспомогательного угла. 6. Преобразование произведения в сумму. 7. Универсальная подстановка.

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения.

Алгебраический метод

1. Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 . Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

Решить уравнение

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , sin x · cos x – sin 2 x = 0 , sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

Корни

Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу

Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ? ( x / 2 ) + 5 sin ? ( x / 2 ) = 7 sin ? ( x / 2 ) + 7 cos ? ( x / 2 ) , 2 sin ? ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ? ( x / 2 ) = 0 , tan ? ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 , . . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

6. Преобразование произведения в сумму

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: cos 4x – cos 8x = cos 4x , cos 8x = 0 , 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Проверка

Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ).

2

Разложение на множители.

4

Приведение к однородному уравнению.

1

Переход к половинному углу.

Преобразование произведения в сумму.

5

Универсальная подстановка.

6

Введение вспомогательного угла.

3

Спасибо, за внимание

!!