Презентация на тему «Понятие корня n-й степени»

Корень n-й степени

Квадратный корень

Определение. Квадратным корнем из числа а называют число t, квадрат которого равен а. t2 = a. Числа 8 и -8 – квадратные корни из 64, так как 82 = 64 и (-8)2 = 64.

Корень n-й степени

Определение. Корнем n-й степени из числа а называют число t, n-я степень которого равна а. t n = a. Числа 3 и -3 – корни 4-й степени из 81, так как 34 = 81 и (-3)4 = 81. Число -5 – корень 3-й степени из -125, так как (-5)3 = -125.

Арифметический корень n-й степени

Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа а называется арифметическим корнем n-й степени из а. 2 – арифметический корень 4-й степени из числа 16, т.к. 2 > 0 и 2 4 = 16. -2 – не арифметический корень 4-й степени из числа 16. т.к. 2 < 0. Но 2 и -2 - корни 4-й степени из 16. 3 – арифметический корень 5-й степени из 243.

Обозначение корня

Если n – нечетное число. Если а ?0, то - арифметический корень n-й степени из числа а.

Корень n-й степени из числа а (положительного, отрицательного или нуля).

Показатель корня

Подкоренное выражение

Четное число

Обозначение корня

Если n – четное число. При четном n выражение имеет смысл только при а ?0.

Арифметический корень n-й степени из числа а

- Арифметические корни, а значит числа положительные.

Единственный корень

Корень n-й степени

Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа а. ( ). Во множестве действительных чисел существует два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны.

Свойства корней n-й степени

Когда n – нечетное, то при любом значении а верно равенство

Когда n – четное, то при любом положительном значении а верно равенство

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n - нечетное число.

Пусть n - четное число.

Тогда при любом значении а верны равенства:

Натуральные числа

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n и k - натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении а верны равенства: (При извлечении корня из корня подкоренное выражение остается прежним, а показатели корней перемножаются.) Сравнить числа и .

Целое число

Теорема. Пусть k – целое число. Тогда при любом положительном значении а верно равенство: Решить уравнение: Решение. Тогда Ответ: 64; 117 649.

Свойства корней n-й степени

Нечетное число

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b верно равенство

Пусть n – четное число. Тогда при любых а ? 0 и b ? 0 верно равенство

Равенство

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b ? 0 верно равенство

Пусть n – четное число. Тогда при любых а ? 0 и b > 0 верно равенство

Свойства корней

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n – нечетное число. Тогда при любых значениях а и b верно равенство

Пусть n – четное число. Тогда при любых значениях а и b ? 0 верно равенство

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразование выражения к виду называется вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени. Преобразование выражения к виду называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени.

Внесение множителя под знак корня

Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня нечетной степени. Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня четной степени.

Неотрицательныые числа

Корень n-й степени из произведения нескольких чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел. В частности, пологая в этом равенстве а1 = а2 = … = аk = а, получим

Свойства корней n-й степени

Теорема. Пусть n > 1 – нечетное число; а1, а2, … , аk - любые числа.

Пусть n ? 2 – четное число; а1, а2, … , аk - любые неотрицательныые числа.

Число

Свойства корней n-й степени

N – нечетное число

N – четное число

При любом а

При а ? 0

При любом а

При любом а

При любом а

При а = 0

При любых а и b

Если а и b одного знака

При любых а и b

При а ? 0 и b ? 0

Свойства

Свойства корней n-й степени

N – нечетное число

N – четное число

При любых а и b

При любых а и b

При а ? 0 и b ? 0

При а < 0 и b ? 0

При любых а и b

При любом а и b ? 0

При любых а и b ? 0

Если а и b одного знака и b ? 0

При любых а и b ? 0

При а ? 0 и b > 0

Тождества

Свойства корней n-й степени

При любых натуральных значениях n ? 2 и k ? 2 для а ? 0 имеют место тождества: