Понятие определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Бурятский филиал МЭСИ Преподаватель: Асалханова Л.И.

Актуализация опорных знаний

Вопросы 1) Что называется первообразной? 2) Что называется неопределённым интегралом? 3) Сформулировать свойства неопределённого интеграла

«Математика есть способ называть разные вещи одним именем» Анри Пуанкаре

Актуализация опорных знаний

Актуализация опорных знаний

Актуализация опорных знаний

Вопросы: 4) Назовите действие обратное интегрированию. 5) Назовите методы интегрирования. 5) Правильность интегрирования можно проверить… 6) Дописать продолжение формул

Содержание

Задача о площади криволинейной трапеции Понятие интегральной суммы Геометрический смысл интегральной суммы Понятие определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла Экономический смысл интеграла Условие существования определенного интеграла Пример нахождения определенного интеграла на основании определения Свойства определенного интеграла Теорема о среднем Интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона - Лейбница

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция у=f(х). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми х = а, х =b и осью абсцисс у =0

S ~ sл

За искомую площадь S возьмем предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы

Геометрический смысл интегральной суммы

Sл= S1 + S2 +...+ sn

Понятие определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные

планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

Экономический смысл интеграла

Экономический смысл интеграла

Условие существования определенного интеграла

Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Пример нахождения определенного интеграла на основании определения

Вычислить

Пример нахождения определенного интеграла на основании определения

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями – интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.

Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед

При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.

1. Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

Доказательство

2. Свойства определенного интеграла

При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак.

Доказательство

3. Свойства определенного интеграла

Доказательство

4. Свойства определенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Доказательство

5. Свойства определенного интеграла

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Доказательство

6. Свойства определенного интеграла

Если на [а, b]

, То

Т.Е. Обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Доказательство

По свойству 5 получаем

7. Свойства определенного интеграла

Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

Доказательство

8. Свойства определенного интеграла

Если M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], то:

Доказательство

9. Свойства определенного интеграла

a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю

b) Интеграл от четной функции по симметричному отрезку равен удвоенному интегралу по половине отрезка

9. Свойства определенного интеграла

Доказательство

Теорема о среднем

Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка, что

Доказательство

Интеграл с переменным верхним пределом

Формула Ньютона - Лейбница

Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона - Лейбница

Пример

Пример

Вычислить:

Решение

Решение

Используя формулу

Получим

Пример

Вычислить:

Решение

Использованная литература

Высшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш.(ред.) – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2010 Дадаян А.А. Математика– М.: ФОРУМ, 2012