Построение графика квадратичной функции с модулем

Построение графиков квадратичной функции

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

Определение квадратичной функции

Определение квадратичной функции Алгоритм построения квадратичной функции Как, зная график функции y=f(x) построить графики следующих функций: y=f(-x) y=-f(x) y=f(x+m) y=f(x)+n y=f(x+m)+n y=kf(x) y=|f(x)| y=f(|x|)

Актуализация опорных знаний

График функции

Устно Дан график функции y = x2 – 4x + 3. Составьте формулу функции, график которой:

1а) y = –x2 + 4x – 3; 1б) y = x2 + 4x + 3 2 y = x2 – 6x + 6; 3а) y = 0,25x2 – 2x + 3; 3б) y = 2x2 – 8x + 6; 4а) y = 4x2 – 8x + 3 4б) y = 0,5x2 – 2x + 1,5;

1) симметричен данному относительно оси: а) x; б) y; 2) получается из данного параллельным переносом на 3) получается из данного растяжением в 2 раза от оси а) x; б) y 4) получается из данного сжатием в 2 раза к оси а) x; б) y

Найдите соответствия:

Построить график

Построить график функции y=|-2x2 +8x -6|

1. Построим график функции y= -2x2 +8x -6 Ветви параболы направлены вниз Вершина в точке: Ось симметрии: х=2 Нули функции Х1 =1, Х2 =3

Х

0

1

2

3

4

У

-6

-0

2

0

-6

2. Отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс.

Применение преобразований

Применение преобразований при построении графика функции

Y 6 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Построим график функции y =| - 2 x 2+6 x -2 | 1.Сначала построим график функции y = - 2 x 2+8 x -6 Преобразуем трехчлен:

2. Отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс.

0 1 x

Аналитическое построение

Построить график функции y=|x|x По определению модуля: y = x2 ,x>0 - x2 ,x<0

x>0

y

0 x

x<0

Построим график функции

x2-5x=0, x(x-5)=0, x=0 илиx=5 x=0или x=5 разбивают числовую прямую на три промежутка I. x=-1; (-1)2 -5(-1)>0 y=x2-5x+x-3 =x2-4x-3 Строим параболу и выделяем ту часть, которая находится на промежутке II. x=1; 12 -5*1<0, y=-x2+5x+x-3 =-x2 +6x-3 Строим параболу и выделяем ту часть, которая находится на промежутке III. x=6; 62 -5*6>0 y=x2-4x-3 Эту параболу уже строили, поэтому выделим ту часть, которая находится на промежутке Выделенные части являются графиком функции

Построим график функции y=|x2-5x|+x-3 с помощью узловых точек

| || |||

0 5 x

Постройте графики функций:

А) y=|x2 -4| б) y=|2x-x2 |

А)y=|x2 -1| б) y=|x2 +2x-1|

А) y=|(x-3)2 -1| б) y=x2 -|x-1|

А) y=|-(x+2)2 +3| б) y=|2+4|x|-x2|

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант

Вариант 1 а) y=|x2 -4| б) y=|2x-x2 |

Вариант 2 а) y=|x2 -1| б) y=|x2 +2x-1|

Вариант3 а) y=|(x-3)2 -1| б) y=x2 -|x-1|

Вариант 4 а) y=|-(x+2)2 +3| б) y=|2+4|x|-x2|

Проверь себя !

Основные преобразования графиков:

Параллельные переносы; симметрии относительно осей координат; растяжения (сжатия) от (к) осей (осям) координат; преобразования, связанные с модулями.

Домашнее задание

Спасибо за урок !

Учебник Ю.Н.Макарычев, алгебра 9 №1136 а,б Сборник заданий М. Н.Кочагина стр.138 №29,№30

Алгоритм построения графика

Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с.

1.

Определить направление ветвей параболы.

Найти координаты вершины параболы (т; п).

2.

3.

Провести ось симметрии.

Определить точки пересечения графика функции с осью Ох, т.е. найти нули функции.

4.

5.

Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы.

График

График функции y= f (x) + b при b >0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y= f (x) на b единиц вверх. График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вниз

Перенос вдоль оси ординат

y= x2 +2

y=x2

y=x2

y= x2 -2

Y 2 1

0 1 x

Y 1 -2

0 1 x

Перенос вдоль оси ординат

График функции y= f(x)+b при b >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2.перенести ось абсцисс на b единиц вверх График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить так: 1. построить график функции y=f(x) 2 перенести ось абсцисс на единиц вниз

На b вверх

0 1 x

Вниз На b

Y 2

0 1 x

Y 1 -2

0 x

0 1 x

Перенос вдоль оси абсцисс

y=x2

y=x2

График функции y= f (x + c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y= f (x) на |c| единиц влево при c >0 . График функции y=f(x+c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y=f(x) на |c| единиц вправо при c<0

y=(x+2)2

y=(x-2)2

Y 1

-2 0 1 x

Y 1

0 1 2 x

Перенести ось ординат

Перенос вдоль оси абсцисс

График функции y= f (x + c) при c >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2.перенести ось ординат на |b| единиц вправо График функции y=f(x+c) при c<0 можно получить так: 1. Построить график функции y=f(x) 2. Перенести ось ординат на |c| единиц влево

y 1 0

0 1 x

y 1 0

y 1

y 1

0 1 x

Сжатие

Сжатие ( растяжение ) графика вдоль оси ординат

График функции y= b f (x) при b>1 можно получить растяжением графика функции y= f (x) вдоль оси ординат График функции y=bf(x) при 0<b<1 можно получить сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси ординат

y=x2

y=x2

y=2x2

y=0,5x2

Y 1

0 1 x

Y 1

0 1 x

Симметрия

Симметрия относительно оси абсцисс

y=x2

Чтобы построить график фунуции y= -f(x): 1. Строим график функции y=f(x) 2. Отражаем его симметрично относительно оси абсцисс.

y=-x2

0 1 x

Точки графика

График функции y = f(|x|), y = |f(x)|

График функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные абсциссы – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные абсциссы заменяются на точки, полученные из неподвижных отражением относительно оси y. График функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные ординаты – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные ординаты, отражаются относительно оси x.

Взятие модуля

Функция, содержащая операцию « взятие модуля»

y

0 x

Чтобы построить график функции y= |f( x) |: 1. Строим график функции y= f(x), 2.Часть графика, расположенную в верхней полуплоскости сохраняем. 3. Часть графика, расположенную в нижней полуплоскости. отображаем симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость.