Последовательность
<<  Предел и непрерывность функции одной переменной Числовая последовательность и её предел  >>
Предел и непрерывность функции одной переменной
Предел и непрерывность функции одной переменной
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Определение б.м.ф. на бесконечности
Определение б.м.ф. на бесконечности
Б.М.Ф. При
Б.М.Ф. При
Свойства бесконечно малых функций
Свойства бесконечно малых функций
Теорема 5 (сумма б.м.ф.)
Теорема 5 (сумма б.м.ф.)
Б.М.Ф. При
Б.М.Ф. При
Теорема 6 (произведение б.м.ф. на ограниченную функцию)
Теорема 6 (произведение б.м.ф. на ограниченную функцию)
- Ограничена в окрестности точки a
- Ограничена в окрестности точки a
- Б.М.Ф. При
- Б.М.Ф. При
А функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то произведение
А функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то произведение
- Ограничена в окрестности точки x=a
- Ограничена в окрестности точки x=a
Определена и
Определена и
Теорема 7
Теорема 7
Имеет конечный предел в точке x=a
Имеет конечный предел в точке x=a
Теорема 8(связь функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно
Теорема 8(связь функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно
Положим
Положим
Теорема 9 (арифметические операции над пределами)
Теорема 9 (арифметические операции над пределами)
- Б.М.Ф. При
- Б.М.Ф. При
Постоянный множитель можно выносить за знак предела
Постоянный множитель можно выносить за знак предела
Определение бесконечно большой функции
Определение бесконечно большой функции
F(x) – б.Б.Ф
F(x) – б.Б.Ф
Функция
Функция
Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций
Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций
Пусть
Пусть
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Примеры
Примеры
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Предел функции (продолжение)
Предел функции (продолжение)

Презентация: «Предел и непрерывность функции одной переменной». Автор: user. Файл: «Предел и непрерывность функции одной переменной.ppt». Размер zip-архива: 375 КБ.

Предел и непрерывность функции одной переменной

содержание презентации «Предел и непрерывность функции одной переменной.ppt»
СлайдТекст
1 Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной

2 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при x, стремящемся к a, если

Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a.

3 Определение б.м.ф. на бесконечности

Определение б.м.ф. на бесконечности

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при или , если

Или

4 Б.М.Ф. При

Б.М.Ф. При

Б.М.Ф. При

Б.М.Ф. При

Б.М.Ф. При

Примеры.

5 Свойства бесконечно малых функций

Свойства бесконечно малых функций

6 Теорема 5 (сумма б.м.ф.)

Теорема 5 (сумма б.м.ф.)

Если - б.м.ф. при ,

То их сумма

Есть также

Б.М.Ф. При

7 Б.М.Ф. При

Б.М.Ф. При

Функция

Б.М.Ф. При

Функция

Б.М.Ф. При

Доказательство:

8 Теорема 6 (произведение б.м.ф. на ограниченную функцию)

Теорема 6 (произведение б.м.ф. на ограниченную функцию)

Б.М.Ф. При

Если функция является

А функция f(x) ограничена в окрестности точки a,

То произведение

Есть б.М.Ф. При

9 - Ограничена в окрестности точки a

- Ограничена в окрестности точки a

- Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

Доказательство:

10 - Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

-Ограничена в любой проколотой окрестности точки x=0.

- Б.М.Ф. При

Пример.

11 А функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то произведение

А функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то произведение

- Б.М.Ф. При

Если

- Б.М.Ф. При

Следствие.

12 - Ограничена в окрестности точки x=a

- Ограничена в окрестности точки x=a

Если функция f(x) в точке x=a имеет предел, отличный от нуля , то функция

Лемма.

13 Определена и

Определена и

- Ограничена в проколотой окрестности точки x=a.

Доказательство:

14 Теорема 7

Теорема 7

Если

- Б.М.Ф. При

А функция f(x) в точке x=a имеет предел, отличный от нуля , то частное

- Есть б.М.Ф. При

15 Имеет конечный предел в точке x=a

Имеет конечный предел в точке x=a

- Ограничена в проколотой окрестности точки x=a.

- Б.М.Ф. При

Доказательство:

16 Теорема 8(связь функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно

Теорема 8(связь функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно

малой функцией)

Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы f(x) можно было представить в виде суммы

Где

- Б.М.Ф. При

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a.

17 Положим

Положим

- Б.М.Ф. При

И докажем, что

- Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

Для тех же значений x .

Необходимость.

Достаточность.

18 Теорема 9 (арифметические операции над пределами)

Теорема 9 (арифметические операции над пределами)

Если и имеют пределы в точке x=a, то имеют пределы также их сумма , разность , произведение и частное при условии , причём

Пусть функция и определены в окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a.

19 - Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

- Б.М.Ф. При

Доказательство.

Где

20 Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Следствие.

21 Определение бесконечно большой функции

Определение бесконечно большой функции

Если для любого, как угодно большого, числа M>0 существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию

Выполняется неравенство

То функцию f(x) называют бесконечно большой функцией при

Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a.

22 F(x) – б.Б.Ф

F(x) – б.Б.Ф

F(x) – положительная б.Б.Ф.

F(x) – отрицательная б.Б.Ф.

23 Функция

Функция

Пример.

Решение.

24 Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций

Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций

Если и в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может самой точки a, , то функция

И, наоборот, если

То

.

25 Пусть

Пусть

Доказательство.

Следовательно,

Обозначим

Обратное утверждение доказывается аналогично.

26 Односторонние пределы

Односторонние пределы

Определение 1. Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при

(Х < а), если

Определение 2. Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при

(Х >а), если

Пусть функция f(x) определена только слева (или только справа) от а, т.е. в интервале х < а (х > а).

27 Примеры

Примеры

Дробно-линейная функция

28 Теорема

Теорема

Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы функции f(x) в точке a справа и слева и они были равны между собой.

29 Доказательство

Доказательство

Обратно,

30 Предел функции (продолжение)

Предел функции (продолжение)

Бесконечно малые функции. Сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную, частное б.м.ф. и функции, имеющей предел в точке. Связь функции, имеющей предел, с её пределом и б.м.ф. Арифметические операции над пределами. Бесконечно большие функции. Связь между б.м.ф. и б.б.ф. Односторонние пределы.

«Предел и непрерывность функции одной переменной»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/predel-i-nepreryvnost-funktsii-odnoj-peremennoj-208251.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Последовательность > Предел и непрерывность функции одной переменной