Пределы |
Презентация: «Пределы». Автор: Вадим. Файл: «Пределы.ppt». Размер zip-архива: 438 КБ.
Пределы
содержание презентации «Пределы.ppt»| № | Слайд | Текст |
| 1 |  |
ПределыПрезентация по высшей математике на тему: |
| 2 |  |
Определение пределаЧисло A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0) если для любого ?>0 существует такое ?>0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х- х0|< ?, х?х0, имеет место неравенство |f(x) - A|< ?. Если А есть предел функции f(x) при х cтремящемcя к х0, то пишут или f(x)=А при x?х0. |
| 3 |  |
Определение предела по ГейнеПостоянное число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а, если для всякой последовательности хn из обла- сти определения стремящейся к а соответ- ствующие им последовательности f(xn) имеют один и тот же предел А. |
| 4 |  |
Определение предела по КошиПостоянное число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а,если задав произвольное положительное сколь угодно малое число ?(эпсилон) можно найти такое положительное ?(сигма) зависящее от ?,что для всех х лежащих в сигма окрестности числа а и удовлетворяющих неравенству х-|a|<? значения функции будут лежать в ?-окрестности числа а. |
| 5 |  |
Основные теоремы о пределах функцийСуществуют три основные теоремы о пределах функции: О представлении функции в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции. О пределах суммы,произведения и частного. О пределе промежуточной функции. |
| 6 |  |
Теорема ILim f(x)=А тогда и только тогда, когда f(x)=А+?(х),где ?(х) – бесконечно малая функция при x ?a. |
| 7 |  |
Теорема IIЕсли функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрест- ности точки a, возможно, за исключением самой точки a, и существуют пределы и то сущес- твуют пределы их суммы произведения и, если g(x)?0, то и частного и имеют место равенства |
| 8 |  |
Теорема IIIЕсли =А, =А и в некоторой окрестности точки a(быть может ,кроме точки a) имеют место неравенства f(x)? ?(x)? g(x), то при x ? a. |
| 9 |  |
Свойства пределовПусть функции f(x) и g(x) имеют в т.x0 пределы А и В. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. |
| 10 |  |
Раскрытие неопределённостей в пределахНеопределённости вида | ? - ? |,|0* ? |, |1 ? | раскрываются путём сведения их к неопределённостям |0/0| или |?/?|. Они раскрываются путём: Разложения на множители и сокращение. Деления на высшую степень х. Сведения к замечательным пределам. |
| 11 |  |
Замечательные пределыСуществуют несколько замечательных пределов: |
| 12 |  |
Предел функции в точкеПостоянное число а является пределом последовательности хn если для любого сколь угодно малого положения числа ? существует номер(N) что все значения хn у ко- торого n >N удовлетворяет неравенству | xn| < ?. |
| 13 |  |
Бесконечно малые функцииФункция f(x) называется бесконечно малой при х? х0,если примерами бесконечно малых функций служат функции х2 , х3 ,при х? 0,sin(x) при х?k? (в частности х? 0), cos(x) при х? k?+ ?/2 (k-любое целое число).Обычно бесконечно малые функции обозначаю- тся малыми греческими буквами ?(х),?(х) и т.д. Бесконечно малая функция ?(х) при х? х0 называется бесконечно малой более высокого порядка,чем бесконечно малая ?(х) при х? х0,если Например функция ?(х)=х5 является бесконечно малой более высокого порядка чем ?(х)=х3,при х ?0 т.к. Две бесконечно малые функции ?(х) и ?(х) называются одного порядка малости при х? х0,если и эквивалентными ?(х) ~ ?(х) при х? х0,если где с?0-постоянное число и х0-число или один из символов Например sinx(x)~x при х ?0,так как |
| 14 |  |
Бесконечно большие функцииФункция f(x) называется бесконечно большой при х?х0, если для любого M>0 найдётся такое ?>0, что при х?х0 имеет место При этом пишут Записи и означают соответственно, что f(x)>M и f(x)<-M при Аналогично определяется бесконечно большая фун- кция при x?x0+0, x?x0-0,x ?+?, x ? -? и употребляются соответсвующие записи и т.д. Заметим, что если функция ?(х) является бесконечно ма- лой(бесконечно большой) при х?х0,то 1/ ?(х) –бесконеч- но большая(бесконечно малая) при х?х0. |
| 15 |  |
Вычисление пределовДалее мы рассмотрим некоторые приёмы вычисления пределов на конкретных при- мерах: Предел многочлена; Предел отношения двух многочленов; Пределы некоторых иррациональных функций; Применение замечательных пределов. |
| 16 |  |
Предел многочленаИспользуя теорему 2 получаем: Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при x?x0 достаточно вместо переменной x подставить значение x0 , к которому она стремиться, и выполнить соответсвующие действия,т.е. |
| 17 |  |
Предел отношения двух многочленовгде х0 – число. а)Если g(x0)?0,то можно применить теорему о пределе частного. Пусть требуется вычислить Здесь f(x)=x3-2x-3 и g(x)=x2+3x+3.Т.к. g(3)=32+3*3+3=21?0, то имеем : б)Если g(x0)=0,то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если f(x0)=A?0, то Если же f(x0)=0-имеем неопределённость вида 0/0.В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов f(x) и g(x) на множители или заменой y=x-x0. |
| 18 |  |
Пределы некоторых иррациональных функцийДля вычисления где f(x)?0 и воспользуемся равенством которое принимается нами без доказательства. Например: |
| 19 |  |
Применение замечательных пределовИспользуя замечательный предел решим следующий пример: Заменяя 3x=y и учитывая, что y ?0 при x ?0,получаем: |
| 20 |  |
Применение замечательных пределовИспользуя замечательный предел решим следующий пример: Заменяя 2x/3=y и учитывая, что y ?? при x ?? ,можем писать |
| «Пределы» | ||
