Презентация на тему «Пределы функций»

Пределы функций

Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

Наиболее употребительные пределы

План

I Понятие предела функции II Геометрический смысл предела III Бесконечно малые и большие функции и их свойства IV Вычисления пределов: 1) Некоторые наиболее употребительные пределы; 2) Пределы непрерывных функций; 3) Пределы сложных функций; 4) Неопределенности и методы их решений

Понятие предела функции

Определение: Пределом функции y= f(x) называется некоторое число b при x?a. И записывается это так :

Геометрический смысл предела

Математическая запись: При |x-a|<? выполняется |f(x)-b|<? -?<x-a< ? ? -?<f(x)<? a-?<x<a+? ? b-?<f(x)<b+? xЄ(a-?;a+?) ? f(x)Є(b-?; b+?)

Определение: Для любого ?>0 можно указать ?-окрестность точки а на оси Ох ,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ?-окрестности точки b

Число

Геометрический смысл предела (продолжение)

Если число b1 есть предел функции y= f(x) при x?a, так что x<0, то число b1 называется левым односторонним пределом точки а: Если число b2 есть предел функции y= f(x) при x?a, так что x>0 то число b2 называется правым односторонним пределом точки а: Если b1=b2=b, то число b есть предел этой функции при x?a:

Функции и их свойства

Бесконечно малые и большие функции и их свойства

Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой при x?a если предел этой функции Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой при x?a если предел этой функции

Свойства бесконечно малых и больших функции

Функция обратная по величине бесконечно большой, есть бесконечно малая Функция обратная по величине бесконечно малой, но отличная от 0, есть бесконечно малая

Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде , где - бесконечно малая. Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела. Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке a имеет предел , то

Теорема

Основные теоремы о пределах (продолжение)

Теорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют приделы при , то при , имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x), произведение f1(x)*f2(x), и при условии частное f1(x)/f2(x), причем Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при , то ,где n – натуральное число. Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Методы

Методы: Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением Устранение иррациональных разностей. Домножение на сопряженное. Первый замечательный предел.

Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Неопределенности и методы их решений

Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Методы: Деление на наибольшую степень Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ?) равен пределу отношения их старших членов.

Примеры: