Примеры обратных тригонометрических функций

Лекции по алгебре

Лекции по алгебре и началам анализа 10 класс

Государственное Образовательное Учреждение Лицей №1523 ЮАО г.Москва

© Хомутова Лариса Юрьевна

Обратные тригонометрические функции

Лекция № 7

I. Понятие обратной функции

Функция , определенная на промежутке Х, называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Х.

Функция обратима на

Функция не обратима на

a

b

a

b

Теорема

Если функция строго монотонна на промежутке Х, то она обратима на этом промежутке. Доказательство. Пусть функция возрастает на Х, тогда по определению возрастающей функции т.о. различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, т.е. функция обратима.

Обратимая функция

Пусть обратимая функция определена на промежутке Х, а областью значений ее является промежуток Y. Поставим в соответствие каждому то единственное значение , при котором . Тогда получим функцию, которая обозначается и называется обратной по отношению к функции .

Обычно для обратной функции делают переход к привычным обозначениям, т.е. аргумент обозначают буквой х, а значение функции y. Поэтому вместо пишут

Замечание. Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой

Алгоритм получения обратной функции

Свойства обратной функции

1) Убедиться в том, что функция обратима на Х. 2) Из уравнения выразить х через y. 3) В полученном равенстве поменять местами х и y.

; Если функция возрастает (убывает) на , то и функция возрастает (убывает) на ; 3)

Функция

II. Обратные тригонометрические функции

На промежутке функция строго возрастает, следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции на этом промежутке. Эту функцию обозначают .

y = arcsin x

Точки пересечения

y = arcsin x

3) Функция нечетная arcsin x=-arcsin (-x) ;

5) Функция возрастает на D(y);

6) Точки пересечения с осями: х=0, y=0;

Наибольшее значение при х=1, наименьшее значение при х=-1;

Область определения ;

2) Область значений ;

4) Функция не является периодической ;

9) Ассимптот нет ;

,

Функция строго убывает

II. Обратные тригонометрические функции

На промежутке функция строго убывает, следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции на этом промежутке. Эту функцию обозначают .

y = arccos x

Точки пересечения с осями

y = arccos x

5) Функция убывает на D(y);

6) Точки пересечения с осями: 1) х=0, ; 2) y=0, x=1

Наибольшее значение при х=-1, наименьшее значение y=0 при х=-1;

Промежутки знакопостоянства arccos x>0 при

Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не обладает определенной четностью;

4) Функция не является периодической ;

9) Ассимптот нет .

,

Функция строго возрастает

II. Обратные тригонометрические функции

На промежутке функция строго возрастает, следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции на этом промежутке. Эту функцию обозначают .

y = arctg x

Область определения

y = arctg x

Область определения D(y)=R ;

3) Функция нечетная arctg x=-arcctg (-x) ;

5) Функция возрастает на D(y);

6) Точки пересечения с осями: х=0, y=0;

Промежутки знакопостоянства arctg x>0 при arctg x<0 при

2) Область значений ;

4) Функция непериодическая ;

Наибольшего и наименьшего значений не существует ;

9) Горизонтальные асимптоты ;

,

II

Обратные тригонометрические функции

На промежутке функция строго убывает, следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции на этом промежутке. Эту функцию обозначают .

y = arcctg x

Y = arcсtg x

Область определения D(y)=R ;

5) Функция убывает на D(y);

6) Точки пересечения с осями: х=0, ;

Промежутки знакопостоянства arcсtg x>0 при ;

2) Область значений ;

3) Функция не имеет определенной четности ;

4) Функция непериодическая ;

Наибольшего и наименьшего значений не существует ;

9) Горизонтальные асимптоты .

,

Смысловые значения

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a

Аrcsin a – это угол из промежутка , синус которого равен а.

А

Угол

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a

Аrccos a – это угол из промежутка , косинус которого равен а.

А

Угол из промежутка

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a

Аrctg a – это угол из промежутка , тангенс которого равен а.

А

Котангенс

Смысловые значения записей arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a

Аrcсtg a – это угол из промежутка , котангенс которого равен а.

А

Основные свойства обратных тригонометрических функций