Презентация на тему «Производная функции»

Мы продолжаем изучать тему «Производная функции»

Мы познакомимся с применением производной для нахождения критических точек функции

Желаю успехов в изучении темы!

Критические точки функции

Применение производной к исследованию функции.

У = g (х)

У = f (х)

Х

У

~

~

~

~

Повторение: описание свойств функции по её графику Изучение нового материала: точки экстремума функции стационарные точки функции критические точки функции

F(х)=…

F(х)=…

F(х)=…

F(х)=…

F(х)=…

F(х)=…

Повторение

-2

0

0

0

1

Постановка проблемы

Как называются точки, в которых функция «меняет характер»?

Как найти эти точки, не выполняя построения графика функции?

Х1

Х2

Х3

1. Точки экстремума.

У

У = f (х)

Х

1.1. Точки максимума.

Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х = х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х0 ).

Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ? х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х0 ).

Х2

Х3

Х1

f(х1 ) > f (x) f(x2 ) > f (x) f(x3 ) > f (x) Точки максимума: Х=Х1 , Х=Х2 , Х=Х3

1. Точки экстремума.

У

У = f (х)

Х

1.1. Точки максимума.

Х5

Х4

Х6

1. Точки экстремума.

У

У = f (х)

Х

1.2. Точки минимума.

Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ? х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) < f(х0 ).

Х5

Х6

Х4

f(х4 ) < f (x) f (x5 ) < f (x) f (x6 ) < f (x) Точки минимума: Х=Х4 , Х=Х5 , Х=Х6

1. Точки экстремума.

У

У = f (х)

Х

1.2. Точки минимума.

F (х2 )

Х1

Х2

Х4

Х3

F (х1 )

1. Точки экстремума.

1.3.

У

У = f (х)

Х

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции.

Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.

Максимум функции

F (х2 )

F (х4 )

Минимум функции

F (х1 )

F (х3 )

1. Точки экстремума

1.4.

У

Х

У = f (х)

f (x1 ) = f (x 2) =f (x3 ) = f (x 3) = 0

Касательная к графику функции, проведённая в точке экстремума параллельна оси Ох.

2. Точки перегиба

У

У = х 3

У/ (х) = 3х2 у/ (0) = 0 точка х = 0 не является точкой экстремума функции точка х = 0 является точкой перегиба функции

0

Х

3.Стационарные точки

Точки в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции.

Точка максимума Точка минимума Точка перегиба

Стационарные точки

У = | x -2| - 1

4. Критические точки функции.

4.1.

2

0

-1

У

Функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной. точка х = 2 является точкой экстремума (точкой минимума) функции в точке х = 2 функция не имеет производной

Х

4. Критические точки функции

4.2.

Внутренняя точка области определения функции, в которой эта функция имеет производную, равную нулю или не имеет производной, называется критической точкой этой функции.

-2 0 2 4

5. Выполнение заданий.

5.1.

У

У = f (x)

Х

Х = -2 х = 0 х = 2 х = 4

Точка минимума точка максимума точка перегиба стационарная точка критическая точка точка экстремума

5. Выполнение заданий

f (x)=…

5.2.

У

У = f (x)

Верно ли, что:

Х

-2

1. Х = -2 – точка перегиба

2. Минимум функции равен (-2)

3. Х = -2 - точка минимума

4. Минимум функции равен 0

F (х) не существует при х= -2

Нет

Нет

Да

Да

F (х) = 0 при х=-2

Нет

Да

5. Выполнение заданий

5.3.

F '(х) = 3х2+х– 4

Найдите критические точки функции f(х) = х3+0,5х2– 4х

1. Функция определена для всех значений х.

2. Найдём производную функции

5. Выполнение заданий

5.4.

1. Функция определена для х ? 0 .

Итоги урока

Точка минимума функции

Точка максимума функции

Точки экстремума функции

Точка перегиба функции

Стационарные точки функции

Критические точки функции

Экстремум функции

Свойство производной в точке экстремума

Желаю всем успехов в изучении темы