Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных

приёмов.

Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький. Конфуций

Цели и задачи:

1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения и навыки, умения применять различные способы разложения многочлена на множители и их комбинации. 2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы. 3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Тест 1. 1.Выберите правильное продолжение определения

Разложение многочлена на множители – это…

А. представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов Б. представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов В. представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов Оценка 1 балл

Тест 1. 2.Выберите правильное продолжение утверждения

Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется...

А. разложением многочлена на множители Б. вынесением общего множителя за скобки В. группировкой одночленов Оценка - 1 балл.

Тест 1. 3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении на

множители способом группировки. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно…

А. вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки Б. сгруппировать члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель В. сгруппировать члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель Оценка - 1 балл.

Тест 1. 4. Найти верные утверждения

А. а? + b? - 2аb = (а - b )? Б. m ? + 2mn – n? = (m – n)? В. 2pt - p? – t? = ( p – t )? Г. 2cd + c? + d? = ( c + d)? Оценка -по 1 баллу за каждое верно выбранное выражение).

1

2

3

4

В

Б

Б,в,а

А,г

Ответы на тест 1

Задание 2 Метод разложения на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Формулы сокращённого умножения

Способ группировки

20х3 у2 +4х2 у

А4 – b8

2bх – 3ау - 6bу + ах

B (а + 5) – с (а +5)

27b3 + а6

А2 + аb - 5а - 5b

15а3b + 3а2 b3

Х2 + 6х + 9

2аn -5bm - 10bn+аm

2у (х - 5) + х ( х - 5 )

49m 4 - 25n2

3а2 + 3аb - 7а - 7b

Задание 2

По 0,5 балла за каждое верно выбранное соединение).

Тест 2 Указать многочлены, соответствующие способам разложения на

множители Вариант I

А. 20х? у? +4х? у

Б. 4а? – 5а + 9

В. 2bх – 3ау - 6bу + ах

Г. а4 – b8

Д. 9х? + у4

Е. 27b3 + а6

Ж. а? + аb - 5а - 5b

З. b (а + 5) – с (а +5)

1. Вынесение общего множителя за скобки

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Формулы сокращённого умножения

2. Формулы сокращённого умножения

3. Не раскладывается на множители

3. Не раскладывается на множители

4. Способ группировки

4. Способ группировки

Тест 2 Указать многочлены, соответствующие способам разложения на

множители Вариант II

А. 15а? b + 3а?b?

Б. 9х? + 5х + 4

В. 2аn -5bm - 10bn+аm

Г. х2 + 6х + 9

Д. 4а4 +25 b2

Е. 49m 4 - 25n2

Ж. 3а2 + 3аb - 7а - 7b

З. 2у (х - 5) + х ( х - 5 )

1. Вынесение общего множителя за скобки

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Формулы сокращённого умножения

2. Формулы сокращённого умножения

3. Не раскладывается на множители

3. Не раскладывается на множители

4. Способ группировки

4. Способ группировки

1

2

3

4

В - i

А,з

Г,е

Б,д

Ж,в

В -ii

А,з

Г,е

Б,д

Ж,в

Ответы на тест 2

№ Варианта

Оценка -8 баллов (по 1 баллу за каждое верно выбранное соединение).

Характеристика приёмов разложения на множители

Вынесение общего множителя Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки удается выделить общий множитель, являющийся многочленом

Применение формул сокращённого умножения Здесь группа из двух, трёх (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращённого умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. «Математическая эстафета» (10 мин)

Разложите на множители

1-й ряд

1-й ряд

2-й ряд

2-й ряд

3-й ряд

3-й ряд

1

3а + 12b

1

16а2 + 8аb +b2

1

10а + 15с

2

2а + 2b+а2 + аb

2

3m - 3n + mn – n2

2

4а2 - 9b2

3

9а2 - 16b2

3

5а - 25b

3

6ху–аb -2bх -3ау

4

7а2 b- 14аb2 +7а b

4

4

4а2 – 28аb +49 b2

5

5

9а 2 – 30аb + 25b 2

5

B(а + с) + 2а +2с

6

4а2 – 4аb + b2

6

2(а2 + 3bс)+а(3b+4с)

6

5а3 с–20асb -10ас

7

7

144а 2 - 25b2

7

Х2 –3х -5х + 15

8

25а2 + 70аb + 49b2

8

9а3 b- 18аb2 - 9аb

8

9а2 – 6ас + с2

4а2 –3аb+ а– аq+3bq -q

m2 +mn–m–mq–nq +q

2(3а2 + bс) + а(4b+3с)

Ответы на задания

1-й ряд

1-й ряд

2-й ряд

2-й ряд

3-й ряд

3-й ряд

(А + с) ( b + 2)

1

3(а + 4b)

1

(4а + b)2

1

5(2а + 3с)

2

(2 + а)(а + b)

2

(3 + n )( m – n)

2

(2а - 3b)( 2а + 3b)

3

(3а - 4b)(3а + 4b)

3

5(а - 5b)

3

(3у – b)(2х – а)

4

7а b(а - 2b +1)

4

(А – q )(а – 3b + 1)

4

(2а + 4 b)2

5

(m – q)(m +n–1)

5

(3а –5b)2

5

6

(2а – b)2

6

(2а + 3b)(а +2с)

6

5а с( а2 – 4b - 2)

7

(2а +с)(3а + 2b)

7

(12а - 5b) (12а + 5b)

7

(Х – 3)(х -5)

8

5а + 7b)2

8

9а b( а2 - 2b -1)

8

(3а – с) 2

Оценка -8 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

Задание 4. Разложите многочлен на множители и укажите, какие приёмы

использовались.

1 ряд

2 ряд

3 ряд

У? – 3у? + 6у - 8

А? +2ав +в? - с?

Комбинировали три приёма: - группировку; - использование формул сокращённого умножения; -вынесение общего множителя за скобки.

Комбинировали два приёма: - группировку; - использование формул сокращённого умножения.

Решение: =4а? b?(9а4– 24 а? b+ 16 b? )= =4а? b? (3а? - 4b)? .

Решение: у? – 3у? + 6у – 8 = (у? –8) – - (3у? - 6у)= (у – 2)(у?+2у +4) - -3у(у – 2)= (у -2)( у? + 2у+ +4 - 3у) = (у -2)( у? - у +4)

Решение: а? +2ав +в? - с?= =(а? +2ав+в?) - с?= =(а+ в)?- с?=(а + в –с) (а + в + с)

Комбинировали два приёма: -вынесение общего множителя за скобки; - использование формул сокращённого умножения.

Порядок разложения многочлена на множители:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

2. Попробовать разложить многочлен по формулам сокращённого умножения.

3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путём прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае. Чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Например: n? + 3n + 2 = n? + 2n + n + 2 = (n? + 2n) + (n + 2) = = n (n + 2) +(n + 2) = (n + 2)(n + 1).

Задание 5. (10 мин)

1. Решить уравнения

Х? – 15х + 56 = 0

Х? + 10х + 21 = 0

Отмечаем, что при разложении многочлена х? + 10х + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат ( х?+ 10х+ 25=(х + 5)? ) и таким образом применили ещё один приём разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

2. Доказать, что при любом натуральном п значение выражение (3п – 4)

– п? кратно 8.

Решение: (3п – 4)? – п? = (3п – 4 –п)( 3п – 4 + п) =( 2п – 4)( 4п – 4) = 8( п – 2)( п – 1). Так как в полученном произведении один множитель делится на 8, то всё произведение делится на 8.

3. Вычислить 38,8

+ 83 ? 15,4 – 44,2? .

Решение: 38,8? + 83 ? 15,4 – 44,2? = 83? 15, 4 – (44,2? – 38, 8? ) = 83? 15, 4 – (44,2 – 38, 8)( 44,2 + 38, 8 ) = =83? 15, 4 – 5,4 ? 83 = 83 ? (15,4 – 5,4) = 83? 10 = 830.

Оценка -8 баллов (по 2 балла за каждый правильно, самостоятельно решённый пример).

Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем заданиям

Если n ?27, то оценка «5»; при 23? n ? 26, то оценка «4»; при 15? n ? 22, то оценка «3»; при n ? 14, то ваша оценка «2».

Подведение итогов урока

Подведение итогов урока. (2 мин) Фронтальный обзор основных этапов урока: Этап І - повторение определений и распознавание способов разложения на множители. Этап ІІ - самостоятельное решение примеров на применение этих способов. Этап ІІІ - применение различных способов разложения многочлена на множители при решении уравнений, при решении задач на делимость и вычислении числовых примеров. Мы вспомнили три основных приёма разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки; - группировки; - использование формул сокращённого умножения. И сегодня познакомились ещё с двумя способами: - методом выделения полного квадрата; - предварительным преобразованием. Оценим свою работу на уроке.

Домашнее задание

До свидания

Урок окончен