Действия с многочленами
<<  Применение различных способов для разложения на множители Разложение многочленов на множители  >>
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители
При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный
При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный
Разложение многочлена на множители применяется:
Разложение многочлена на множители применяется:
2·х2 + х – 6 = 0
2·х2 + х – 6 = 0
Найти значение числового выражения
Найти значение числового выражения
(32)7 + 312 =314 + 312 =312 ·(32 + 1)=312 · 10
(32)7 + 312 =314 + 312 =312 ·(32 + 1)=312 · 10
Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если
Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители
Основные понятия
Основные понятия
Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по
Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по
Группировка;
Группировка;
Группы алгебраических выражений
Группы алгебраических выражений
Соотнеси многочлены с их разложением на множители
Соотнеси многочлены с их разложением на множители
G (жэ) d (дэ) h (аш) i (и) f (эф) b (бэ) e (е) a (а) c (цэ)
G (жэ) d (дэ) h (аш) i (и) f (эф) b (бэ) e (е) a (а) c (цэ)
Что выносится за скобку в качестве общего множителя
Что выносится за скобку в качестве общего множителя
15х3у2+20х2у3 ху·(15х2у+20ху2) х2·(15ху2+20у3) 5х2у2·(3х+4у)
15х3у2+20х2у3 ху·(15х2у+20ху2) х2·(15ху2+20у3) 5х2у2·(3х+4у)
Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =
195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =
195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =
195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =
4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1)2 =
4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1)2 =
Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения
Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения
2mx - 3m - 4x + 6 =
2mx - 3m - 4x + 6 =
x2 – 8x +15 = = x2 – 3x – 5x +15 =
x2 – 8x +15 = = x2 – 3x – 5x +15 =
Формулы разложения на множители
Формулы разложения на множители
Использование формул сокращённого умножения
Использование формул сокращённого умножения
Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с
Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с
Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы
Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы
Домашнее задание 2
Домашнее задание 2
Решите уравнение
Решите уравнение
Домашнее задание
Домашнее задание
Решите уравнение
Решите уравнение
546 (в) z2-36=0 (z-6)·(z+6)=0 z-6=0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ: -6;
546 (в) z2-36=0 (z-6)·(z+6)=0 z-6=0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ: -6;
Домашнее задание: № 563(a,г), № 567(а,в), № 580(б,г), № 615(а,в), №
Домашнее задание: № 563(a,г), № 567(а,в), № 580(б,г), № 615(а,в), №
Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х4у2 — 12х2у2
Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х4у2 — 12х2у2

Презентация: «Разложение многочленов на множители». Автор: школа. Файл: «Разложение многочленов на множители.pptx». Размер zip-архива: 236 КБ.

Разложение многочленов на множители

содержание презентации «Разложение многочленов на множители.pptx»
СлайдТекст
1 Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители

Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

2 При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный

многочлен представить в виде: произведения двух или более многочленов: (х+1)·(х-2), (m+4)·(m+2)·(m-8) произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной: 2y·(y-1) можно представить в виде произведения числа на многочлен, например , (2х2+6у2)·0,5 или (х2+3у2)·1 Но это искусственное преобразование, поэтому без большей необходимости не используется. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители. Например, многочлены х+3, х2+3у2 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называются простыми (неприводимыми). Разложение на множители считается законченным, если все полученные множители простые. (неприводимы).

3 Разложение многочлена на множители применяется:

Разложение многочлена на множители применяется:

Для решения уравнений;

Для преобразования числовых выражений;

Для решения задач на делимость;

Для преобразования алгебраических выражений;

Для решения задач с использованием метода математической индукции;

Для сокращения алгебраических дробей;

Для доказательства тождеств.

4 2·х2 + х – 6 = 0

2·х2 + х – 6 = 0

(2·х – 3)·(х+2)=0

Значит,

Либо 2·х – 3=0,

Либо х+2=0.

2·х = 3

Х = – 2

Х =1,5

Ответ: 1,5 и -2

Решение уравнений методом разложения на множители заключается в следующем: если p(х)= p1(х)· p2(х)·… ·p n(х), то всякое решение уравнения p(х)=0 является решением совокупности уравнений p1(х)=0; p2(х)=0; … ; p n(х)=0.

2х2 + 4х – 3х – 6=0

2·х2 + х – 6 = 0

5 Найти значение числового выражения

Найти значение числового выражения

Вычислите наиболее рациональным способом:

6 (32)7 + 312 =314 + 312 =312 ·(32 + 1)=312 · 10

(32)7 + 312 =314 + 312 =312 ·(32 + 1)=312 · 10

97+312 кратно 90

90=9·10=32 ·10

Задачи на делимость

Докажите, что значение выражения кратно заданному числу

7 Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если

Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если

p (x, y)= 2x2y+4x Для этого в составе каждого члена многочлена p (x, y)= 2x2y+4x необходимо выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х

2x2y+4x = xy·2x+2·2x=(xy+2)·2x

6с2 + 4с = 2c·3c + 2c·2 = 2c·(3c+2) или 6с2 + 4с = -2c·(-3c) + (-2c)·(-2) = -2c·(-3c - 2)

Пример:

8 Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители

2. Способы разложения многочлена на множители

Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький. Конфуций

9 Основные понятия

Основные понятия

Что такое разложение многочленов на множители? Каждый ли многочлен допускает разложение на множители? Выберите многочлены, которые разложить на множители нельзя х+3, y2+3y, m2+3n2 . Как называются многочлены, которые нельзя разложить на множители? Когда разложение на множители считается законченным? При решении каких алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен разложить на множители? Уравнения какого вида решаются методом разложения на множители? В чем заключается решение уравнений методом разложения на множители?

1-5

6

7-8

10 Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по

Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по

какому признаку проведено распределение

1. 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2

2. 3а2b·(1 - 2а);

3. 2mx – 3m – 4x +6

4. (9с - аb)·(9с + аb);

5. xy2 – by2 – a x + ab +y2 – a

6. 4p2 + 12pn + 9n2

7. 1 + 64a3

8. 8c3 – 125

9. (5а + 1)2;

10. 49b2 – 25a2

11. 25x2 – 40x + 16

12. (Х - 2)(х2 + 2х + 4);

III

I

IV

II

11 Группировка;

Группировка;

Выделение полного квадрата.

Вынесение общего множителя за скобки;

Комбинированный (комбинация различных способов);

Способы разложения многочленов на множители

Использование формул сокращённого умножения;

Меню

№1

Тест

Зачет

12 Группы алгебраических выражений

Группы алгебраических выражений

2. 3а2b·(1 - 2а);

3. 2mx – 3m – 4x +6

4. (9с - аb)·(9с + аb);

5. xy2 – by2 – a x + ab +y2 – a

9. (5а + 1)2;

12. (Х - 2)(х2 + 2х + 4);

6. (2p)2 + 2·6pn + (3n)2

11. (5x)2 – 2·20x + 42

1. 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2

10. (7b)2 – (5a)2

7. 1 + (4a)3

8. (2c)3 – 53

I

III

IV

II

13 Соотнеси многочлены с их разложением на множители

Соотнеси многочлены с их разложением на множители

3x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х3-х2 -х2у2-ху 15х3у2+20х2у3 -8х3у3-2х3у4+4x3y3z

5х2у2·(3х+4у) х2·(х - 1) -2х3у3·(4+y-2z) 3·(х+2у) -ху·(ху+1) 2,4·(х+3у) 3·(x+y) 4·(2х-3у) 3/7·(4/7х-1/4у)

14 G (жэ) d (дэ) h (аш) i (и) f (эф) b (бэ) e (е) a (а) c (цэ)

G (жэ) d (дэ) h (аш) i (и) f (эф) b (бэ) e (е) a (а) c (цэ)

Соотношение многочленов с их разложением на множители:

15 Что выносится за скобку в качестве общего множителя

Что выносится за скобку в качестве общего множителя

= 5х2у2·(3х+4у) = х2·(х - 1) = -2х3у3·(4+y-2z) = 3·(х+2у) = -ху·(ху+1) = 2,4·(х+3у) = 3·(x+y) = 4·(2х-3у) = 3/7·(4/7х-1/4у)

3x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х3-х2 -х2у2-ху 15х3у2+20х2у3 -8х3у3-2х3у4+4x3y3z

16 15х3у2+20х2у3 ху·(15х2у+20ху2) х2·(15ху2+20у3) 5х2у2·(3х+4у)

15х3у2+20х2у3 ху·(15х2у+20ху2) х2·(15ху2+20у3) 5х2у2·(3х+4у)

у2·(15х3+20х2у)

Чтобы представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, необходимо в составе каждого члена многочлена выделить одинаковую часть (одинаковый множитель)

Из предложенных вариантов разложения многочлена на множители выбери то, которое считается законченным.

17 Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Найти НОД коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, который и будет общим числовым множителем. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки

18 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

15c3 · c3p5- 7c2pk · c3p5+ 17p5k2 · c3p5=

195

5

91

7

221

13

13

39

3

13

13

17

17

13

13

13

1

1

13

1

195=5·3·13

195=5·3·13

195=5·3·13

91=7·13

91=7·13

91=7·13

221=13·17

221=13·17

221=13·17

c6 , c5 , c3 p5 , p6 , p10 --- , k , k2

c3 p5

19 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

=15c3 · 13c3p5 - 7c2p k · 13c3p5 + 17p5k2 · 13c3p5= =13c3p5 · (15c3 - 7c 2p k + 17p5k2)

20 4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1)2 =

4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1)2 =

= 4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1) ·(4c – 1) =

= (4c – 1) · (4c – 3 ·(4c – 1)) =

= (4c – 1) · (4c – 12c + 3) =

= (4c – 1) · ( – 8c + 3) = (4c – 1) · ( 3 – 8c)

*) Иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов:

21 Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения

Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения

общих множителей, в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Способ группировки применяется, когда члены многочлена не имеют общего множителя.

22 2mx - 3m - 4x + 6 =

2mx - 3m - 4x + 6 =

2mx - 3m - 4x + 6 = (2mx - 3m) +(- 4x + 6) =

= (2x·m - 3·m) +(- 2x·2 + 3·2) =

=m·(2x-3) - 2· (2x-3) = (2x-3) ·(m-2)

Члены многочлена не имеют общего множителя:

Составим две группы: в первую включим 1 и 2 член, во вторую – 3 и 4:

23 x2 – 8x +15 = = x2 – 3x – 5x +15 =

x2 – 8x +15 = = x2 – 3x – 5x +15 =

= (x2 – 3x) + (– 5x +15) =

= x·(x – 3) – 5·(x – 3) =

= (x – 3) ·(x– 5).

*) Разложите на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых:

24 Формулы разложения на множители

Формулы разложения на множители

a2 – b2 = (a + b)·(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a3 + b3 = (a + b)·(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)·(a2 + ab + b2)

25 Использование формул сокращённого умножения

Использование формул сокращённого умножения

1. (2p)2 + 2·6pn + (3n)2

2. (5x)2 – 2·20x + 42

3. (7b)2 – (5a)2

4. 1 + (4a)3

5. (2c)3 – 53

II

26 Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с

Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с

положительным, а потом с отрицательным коэффициентом: а) 6с2 + 4с; б) 6с2 - 4с; в) -6с2 + 4с; г) -6с2 - 4с. 2. Примените формулу разности квадратов: а) 9с2 - 4; б) 4 - 9с2; в) а3 – аb2. 3. Примените формулы квадрата разности и квадрата суммы: а) 9с2 - 12с + 4; б) -9с2 + 12с - 4; в)-18с2 - 24с - 8. 4*. Разложите на множители: а) Зх + ху2 - х2у – Зу; б) а3- аb - а2b + а2; в) аb2 - b2у - ах + ху + b2 - х. 5*. Примените при группировке формулу разности квадратов: а) 2a2 – 2b2 - а + b; б) ас4 - с4 - ас2 + с2; в) х3у2 - ху - х3 +x. 6*.Примените при группировке формулы квадрата суммы (разности): а) 1 - х2 + 2ху - у2; б) 2х2 - 20ху + 50у2 - 2; в) ах2 - 2ах - bх2 + 2bх - b + а.

27 Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы

Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы

двух выражений на себя Произведение разности двух выражений на себя Полный квадрат суммы Полный квадрат разности Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности Сумма кубов Разность кубов

28 Домашнее задание 2

Домашнее задание 2

544-548(г) и 594,606

29 Решите уравнение

Решите уравнение

544(г) (4t - 1)·(8t -3)·(12t - 17) = 0 4t – 1 = 0 или 8t -3 = 0 или 12t - 17 = 0 4t = 1 8t = 3 12t = 17 t = 1/4 t = 3/8 t = 17/12 Ответ: 1/4; 3/8; 17/12. 545(г) 546 (г) 548 (г) х2 = 4х t2 – 100 = 0 0,25y2 – 25 = 0 х2 - 4х = 0 (t – 10)·(t+10) = 0 (0,5y – 5)·(0,5y + 5) = 0 х · (х - 4)=0 t – 10=0 или t+10 = 0 0,5y – 5=0 или 0,5y + 5 =0 х=0 или х = 4 t = 10 или t = -10 0,5y = 5 или 0,5y = - 5 y=10 или y = -10

Ответ: 0; 4.

Ответ: -10; 10.

Ответ: -10; 10.

30 Домашнее задание

Домашнее задание

544-545(в) и 548-549(в)

31 Решите уравнение

Решите уравнение

544(в) (23z - 46)·(45z + 90)·(3z + 24) = 0 23z – 46 = 0 или 45z + 90 = 0 или 3z + 24 = 0 23z = 46 45z = -90 3z = -24 z = 2 z = -2 z = - 8 Ответ: -8; -2; 2. 545(в) 3х2 - 7х = 0 х·(3х-7)=0 х=0 или 3х - 7=0 3х = 7 х=7/3

Ответ: 0; 7/3.

32 546 (в) z2-36=0 (z-6)·(z+6)=0 z-6=0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ: -6;

546 (в) z2-36=0 (z-6)·(z+6)=0 z-6=0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ: -6;

6. 548 (в) 4x2 - 144 = 0 (2x - 12)·(2x + 12) = 0 2x – 12 = 0 или 2x + 12 = 0 2x =12 2x = - 12 x = 6 x = - 6 Ответ: -6; 6.

33 Домашнее задание: № 563(a,г), № 567(а,в), № 580(б,г), № 615(а,в), №

Домашнее задание: № 563(a,г), № 567(а,в), № 580(б,г), № 615(а,в), №

600 (в,г).

34 Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х4у2 — 12х2у2

Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х4у2 — 12х2у2

а) х2у2; б) 2х2у2; в) 4ху; г) 4х2у2; д) 2х2 - 3. 2. Вынесите общий множитель за скобки в выражении За3с2 + 6a2c3 - 9a3c3. а) Зас· (а2с + 2ас2 – За2c2); б) За2с · (ас + 2с2 - Зас2); в) Зa2c2 · (a + 2с - Зc); г) Зас2 · (а2 + 2ас - За2с); д) Зa2c2 · (a - 2с + Зac). 3. Разложите на множители Зс + Зс2 – a – ac . а) (Зс + а) · (1 - с); б) (а - Зс) · (1 + с); в) (Зс - a) · (1 + с); г) (Зс + a) · (с - 1); д) (Зс - a) · (1- с). 4. Выберите верное равенство: а) 4 + 2у + y3 = (2 + у)2; б) х2 - 24х + 24 = (х - 12)2; в) a2 + 4а + 4 = (а - 2)2 г) 16x2 + 8ху + у2 = (4х + y)2. 5. Выберите неверное равенство: а) 4b2 - а2 = (2b + а)·(2b - а) б) (y + 2)·(2 - у) = y2 - 4; в) 25 x 2 - 1 = (5x + 1)·(5x - 1).

«Разложение многочленов на множители»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli-167591.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Действия с многочленами > Разложение многочленов на множители