Разложение многочленов на множители

Разложение многочленов на множители

Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный

многочлен представить в виде: произведения двух или более многочленов: (х+1)·(х-2), (m+4)·(m+2)·(m-8) произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной: 2y·(y-1) можно представить в виде произведения числа на многочлен, например , (2х2+6у2)·0,5 или (х2+3у2)·1 Но это искусственное преобразование, поэтому без большей необходимости не используется. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители. Например, многочлены х+3, х2+3у2 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называются простыми (неприводимыми). Разложение на множители считается законченным, если все полученные множители простые. (неприводимы).

Разложение многочлена на множители применяется:

Для решения уравнений;

Для преобразования числовых выражений;

Для решения задач на делимость;

Для преобразования алгебраических выражений;

Для решения задач с использованием метода математической индукции;

Для сокращения алгебраических дробей;

Для доказательства тождеств.

2·х2 + х – 6 = 0

(2·х – 3)·(х+2)=0

Значит,

Либо 2·х – 3=0,

Либо х+2=0.

2·х = 3

Х = – 2

Х =1,5

Ответ: 1,5 и -2

Решение уравнений методом разложения на множители заключается в следующем: если p(х)= p1(х)· p2(х)·… ·p n(х), то всякое решение уравнения p(х)=0 является решением совокупности уравнений p1(х)=0; p2(х)=0; … ; p n(х)=0.

2х2 + 4х – 3х – 6=0

2·х2 + х – 6 = 0

Найти значение числового выражения

Вычислите наиболее рациональным способом:

(32)7 + 312 =314 + 312 =312 ·(32 + 1)=312 · 10

97+312 кратно 90

90=9·10=32 ·10

Задачи на делимость

Докажите, что значение выражения кратно заданному числу

Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если

p (x, y)= 2x2y+4x Для этого в составе каждого члена многочлена p (x, y)= 2x2y+4x необходимо выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х

2x2y+4x = xy·2x+2·2x=(xy+2)·2x

6с2 + 4с = 2c·3c + 2c·2 = 2c·(3c+2) или 6с2 + 4с = -2c·(-3c) + (-2c)·(-2) = -2c·(-3c - 2)

Пример:

Разложение многочленов на множители

2. Способы разложения многочлена на множители

Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький. Конфуций

Основные понятия

Что такое разложение многочленов на множители? Каждый ли многочлен допускает разложение на множители? Выберите многочлены, которые разложить на множители нельзя х+3, y2+3y, m2+3n2 . Как называются многочлены, которые нельзя разложить на множители? Когда разложение на множители считается законченным? При решении каких алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен разложить на множители? Уравнения какого вида решаются методом разложения на множители? В чем заключается решение уравнений методом разложения на множители?

1-5

6

7-8

Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по

какому признаку проведено распределение

1. 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2

2. 3а2b·(1 - 2а);

3. 2mx – 3m – 4x +6

4. (9с - аb)·(9с + аb);

5. xy2 – by2 – a x + ab +y2 – a

6. 4p2 + 12pn + 9n2

7. 1 + 64a3

8. 8c3 – 125

9. (5а + 1)2;

10. 49b2 – 25a2

11. 25x2 – 40x + 16

12. (Х - 2)(х2 + 2х + 4);

III

I

IV

II

Группировка;

Выделение полного квадрата.

Вынесение общего множителя за скобки;

Комбинированный (комбинация различных способов);

Способы разложения многочленов на множители

Использование формул сокращённого умножения;

Меню

№1

Тест

Зачет

Группы алгебраических выражений

2. 3а2b·(1 - 2а);

3. 2mx – 3m – 4x +6

4. (9с - аb)·(9с + аb);

5. xy2 – by2 – a x + ab +y2 – a

9. (5а + 1)2;

12. (Х - 2)(х2 + 2х + 4);

6. (2p)2 + 2·6pn + (3n)2

11. (5x)2 – 2·20x + 42

1. 195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2

10. (7b)2 – (5a)2

7. 1 + (4a)3

8. (2c)3 – 53

I

III

IV

II

Соотнеси многочлены с их разложением на множители

3x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х3-х2 -х2у2-ху 15х3у2+20х2у3 -8х3у3-2х3у4+4x3y3z

5х2у2·(3х+4у) х2·(х - 1) -2х3у3·(4+y-2z) 3·(х+2у) -ху·(ху+1) 2,4·(х+3у) 3·(x+y) 4·(2х-3у) 3/7·(4/7х-1/4у)

G (жэ) d (дэ) h (аш) i (и) f (эф) b (бэ) e (е) a (а) c (цэ)

Соотношение многочленов с их разложением на множители:

Что выносится за скобку в качестве общего множителя

= 5х2у2·(3х+4у) = х2·(х - 1) = -2х3у3·(4+y-2z) = 3·(х+2у) = -ху·(ху+1) = 2,4·(х+3у) = 3·(x+y) = 4·(2х-3у) = 3/7·(4/7х-1/4у)

3x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х3-х2 -х2у2-ху 15х3у2+20х2у3 -8х3у3-2х3у4+4x3y3z

15х3у2+20х2у3 ху·(15х2у+20ху2) х2·(15ху2+20у3) 5х2у2·(3х+4у)

у2·(15х3+20х2у)

Чтобы представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, необходимо в составе каждого члена многочлена выделить одинаковую часть (одинаковый множитель)

Из предложенных вариантов разложения многочлена на множители выбери то, которое считается законченным.

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Найти НОД коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, который и будет общим числовым множителем. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки

195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

15c3 · c3p5- 7c2pk · c3p5+ 17p5k2 · c3p5=

195

5

91

7

221

13

13

39

3

13

13

17

17

13

13

13

1

1

13

1

195=5·3·13

195=5·3·13

195=5·3·13

91=7·13

91=7·13

91=7·13

221=13·17

221=13·17

221=13·17

c6 , c5 , c3 p5 , p6 , p10 --- , k , k2

c3 p5

195с6 p5 - 91c5p6k + 221с3p10k2 =

=15c3 · 13c3p5 - 7c2p k · 13c3p5 + 17p5k2 · 13c3p5= =13c3p5 · (15c3 - 7c 2p k + 17p5k2)

4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1)2 =

= 4c·(4c – 1) – 3· (4c – 1) ·(4c – 1) =

= (4c – 1) · (4c – 3 ·(4c – 1)) =

= (4c – 1) · (4c – 12c + 3) =

= (4c – 1) · ( – 8c + 3) = (4c – 1) · ( 3 – 8c)

*) Иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов:

Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения

общих множителей, в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Способ группировки применяется, когда члены многочлена не имеют общего множителя.

2mx - 3m - 4x + 6 =

2mx - 3m - 4x + 6 = (2mx - 3m) +(- 4x + 6) =

= (2x·m - 3·m) +(- 2x·2 + 3·2) =

=m·(2x-3) - 2· (2x-3) = (2x-3) ·(m-2)

Члены многочлена не имеют общего множителя:

Составим две группы: в первую включим 1 и 2 член, во вторую – 3 и 4:

x2 – 8x +15 = = x2 – 3x – 5x +15 =

= (x2 – 3x) + (– 5x +15) =

= x·(x – 3) – 5·(x – 3) =

= (x – 3) ·(x– 5).

*) Разложите на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых:

Формулы разложения на множители

a2 – b2 = (a + b)·(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a3 + b3 = (a + b)·(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)·(a2 + ab + b2)

Использование формул сокращённого умножения

1. (2p)2 + 2·6pn + (3n)2

2. (5x)2 – 2·20x + 42

3. (7b)2 – (5a)2

4. 1 + (4a)3

5. (2c)3 – 53

II

Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с

положительным, а потом с отрицательным коэффициентом: а) 6с2 + 4с; б) 6с2 - 4с; в) -6с2 + 4с; г) -6с2 - 4с. 2. Примените формулу разности квадратов: а) 9с2 - 4; б) 4 - 9с2; в) а3 – аb2. 3. Примените формулы квадрата разности и квадрата суммы: а) 9с2 - 12с + 4; б) -9с2 + 12с - 4; в)-18с2 - 24с - 8. 4*. Разложите на множители: а) Зх + ху2 - х2у – Зу; б) а3- аb - а2b + а2; в) аb2 - b2у - ах + ху + b2 - х. 5*. Примените при группировке формулу разности квадратов: а) 2a2 – 2b2 - а + b; б) ас4 - с4 - ас2 + с2; в) х3у2 - ху - х3 +x. 6*.Примените при группировке формулы квадрата суммы (разности): а) 1 - х2 + 2ху - у2; б) 2х2 - 20ху + 50у2 - 2; в) ах2 - 2ах - bх2 + 2bх - b + а.

Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы

двух выражений на себя Произведение разности двух выражений на себя Полный квадрат суммы Полный квадрат разности Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности Сумма кубов Разность кубов

Домашнее задание 2

544-548(г) и 594,606

Решите уравнение

544(г) (4t - 1)·(8t -3)·(12t - 17) = 0 4t – 1 = 0 или 8t -3 = 0 или 12t - 17 = 0 4t = 1 8t = 3 12t = 17 t = 1/4 t = 3/8 t = 17/12 Ответ: 1/4; 3/8; 17/12. 545(г) 546 (г) 548 (г) х2 = 4х t2 – 100 = 0 0,25y2 – 25 = 0 х2 - 4х = 0 (t – 10)·(t+10) = 0 (0,5y – 5)·(0,5y + 5) = 0 х · (х - 4)=0 t – 10=0 или t+10 = 0 0,5y – 5=0 или 0,5y + 5 =0 х=0 или х = 4 t = 10 или t = -10 0,5y = 5 или 0,5y = - 5 y=10 или y = -10

Ответ: 0; 4.

Ответ: -10; 10.

Ответ: -10; 10.

Домашнее задание

544-545(в) и 548-549(в)

Решите уравнение

544(в) (23z - 46)·(45z + 90)·(3z + 24) = 0 23z – 46 = 0 или 45z + 90 = 0 или 3z + 24 = 0 23z = 46 45z = -90 3z = -24 z = 2 z = -2 z = - 8 Ответ: -8; -2; 2. 545(в) 3х2 - 7х = 0 х·(3х-7)=0 х=0 или 3х - 7=0 3х = 7 х=7/3

Ответ: 0; 7/3.

546 (в) z2-36=0 (z-6)·(z+6)=0 z-6=0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ: -6;

6. 548 (в) 4x2 - 144 = 0 (2x - 12)·(2x + 12) = 0 2x – 12 = 0 или 2x + 12 = 0 2x =12 2x = - 12 x = 6 x = - 6 Ответ: -6; 6.

Домашнее задание: № 563(a,г), № 567(а,в), № 580(б,г), № 615(а,в), №

600 (в,г).

Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х4у2 — 12х2у2

а) х2у2; б) 2х2у2; в) 4ху; г) 4х2у2; д) 2х2 - 3. 2. Вынесите общий множитель за скобки в выражении За3с2 + 6a2c3 - 9a3c3. а) Зас· (а2с + 2ас2 – За2c2); б) За2с · (ас + 2с2 - Зас2); в) Зa2c2 · (a + 2с - Зc); г) Зас2 · (а2 + 2ас - За2с); д) Зa2c2 · (a - 2с + Зac). 3. Разложите на множители Зс + Зс2 – a – ac . а) (Зс + а) · (1 - с); б) (а - Зс) · (1 + с); в) (Зс - a) · (1 + с); г) (Зс + a) · (с - 1); д) (Зс - a) · (1- с). 4. Выберите верное равенство: а) 4 + 2у + y3 = (2 + у)2; б) х2 - 24х + 24 = (х - 12)2; в) a2 + 4а + 4 = (а - 2)2 г) 16x2 + 8ху + у2 = (4х + y)2. 5. Выберите неверное равенство: а) 4b2 - а2 = (2b + а)·(2b - а) б) (y + 2)·(2 - у) = y2 - 4; в) 25 x 2 - 1 = (5x + 1)·(5x - 1).