Разложение на множителис помощью общего множителя гркппировки

Разложение многочлена на множители Воробьева Н.Л

Немного теории

Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения. Существует несколько способов разложения: Вынесение общего множителя за скобку Способ группировки С помощью формул сокращенного умножения

Вынесение общего множителя за скобку

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. 19а-38b= 19·а - 19·2b = 19(а – 2b) 3аb2 + 4bc3 = b·3a2+b·4c3=b(3a2+4c3)

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (это относится к случаю с целочисленными коэффициентами). Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, выбрать для каждого из них наименьший показатель степени. Произведение коэффициента и переменной, найденных на первом и втором шагах, является общим множителем, который следует вынести за скобки.

Пример 1

Разложить на множители: х4у3 – 2х3у2 + 5х2. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. Наибольший общий делитель коэффициентов 1, -2 и 5 равен 1. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x2. Получим: х4y3 - 2x3y2 + 5x2=x2(x2y3 - 2xy2 + 5).

Способ группировки

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена Вынести этот общий множитель за скобки

Пример 2

Рассмотрим пример: разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y Первый способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y). Группировка неудачна. Второй способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2). Третий способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3). Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ.

Вспомним эти формулы: a2-b2=(a-b)(a+b); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Пример 3

Разложить на множители 1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов): x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x2-2a2)(x3+2a2). 2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов): a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)= =(a2+3b)(a4-3a2b+9b4). 3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом: a2-4ab+4b2=a2+(2b)2-2·a·2b=(a-2b)2.

Пример 4

Найти значение числового выражения 532-472 612-392 Дважды воспользуемся формулой разности квадратов: 532-472 = (53-47)(53+47) = 6·100 = 6 = 3 612-392 (61-39)(61+39) 22·100 22 11 Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями

Комбинации различных приемов разложения на множители

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием. Чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Рассмотрим такой пример.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 36a6b3-96a4b4+64a2b5 1) Вынесем за скобки 4a2b3. Получим: 36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4- -24a2b+16b2). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4 - 2 4a2b + 16b2. Он является полным квадратом, т.е. 9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.

Основные результаты

Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки способ группировки использование формул сокращенного умножения