Презентация на тему «Решение показательных неравенств»

Решение показательных неравенств

Показательная функция у = а х Функция у = ах, где а ? 0, а ? 1, называется показательной. D(у) = R; Е(у) = R+, (0; ?). у = 0 – горизонтальная асимптота. Все графики пересекают ось У в точке (0; 1), т.к. а0 = 1

При а > 1 функция - возрастающая

При 0 < а < 1 функция – убывающая

Большему значению степени соответствует большее значение показателя

Большему значению степени соответствует меньшее значение показателя

Виды показательных неравенств

Способы решения

Основание одинаковое

Золотое правило

А ? 1 0 ? а? 1

Знак неравенства не меняется

Знак неравенства меняется

Для решения преобразовать так, чтобы показательная функция (а f(х)) с одной стороны была больше (меньше) показательной функции (а g(х)) с другой

Решите неравенство:

1. 24х – 3 > ?

24х – 3 > 2-2

4x – 3 > - 2, x > ?

Ответ: ( ? ;?)

2. 274х – 3 > 9

33(4х – 3) > 32

3(4x – 3) > 2, x > 11/12

Ответ: ( 11/12 ;?)

3. 1/8·( ? ) х(2 – х) < 8·( ? )3x

( ? ) Х(2 – х) + 3 < ( ? )3x - 3

Х(2 – х) + 3 > 3x - 3

>

x2 + x – 6 < 0

- 3 < x < 2

Ответ: ( -3 ;2)

+ - +

Х ? 1; х = 0

0 ? x < 1

Ответ: [0 ;1)

5. 2x+2 – 2x+3 – 2x+4 > 5x+1 – 5x+2

4· 2x – 8·2x – 16·2x > 5·5x – 25·5x

x < 0

- 20· 2x > - 20·5x

+ - +

Квадратные неравенства

Алгоритм

Степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) )

1. Привести к одному основанию;

2. Очистить показатель;

3. Сделать замену, записать ограничения;

А f(x) = t , где t > 0 , т.К. Множество значений показательной функции – это множество положительных чисел.

4. Решить неравенство с t до конца;

5. Отобрать решения с учетом ограничений;

Решите неравенство:

1. 9х – 1 - 36·3х – 3 + 3 > 0

3 2х – 2 - 36·3х – 3 + 3 > 0

1/9·3 2х - 36/27 · 3х + 3 > 0

1/9·3 2х - 4/3 · 3х + 3 > 0

3 2х - 12 · 3х + 9·3 > 0

3x = t

t > 0

t 2 - 12 · t + 9·3 < 0

t 1 =3; t2 = 9

x < 3

x > 9

Ответ: ( -? ;3)U(9;?)

+ - +

Замена переменной

- + - +

1. 3х < 1 + 12·3 - х

3x = t

t > 0

Помните! Неравенство к целому виду приводить нельзя. Приведите к общему знаменателю

t ? 0; t = - 3; t = 4

f(-10) < 0

0 < t < 9

t < - 3

Решений нет

2. 5· 9х - 18· 15х + 9· 25х

0

5· 3 2х - 18· 3х·5х + 9· 5 2х ? 0 |: 52x

3/5 ? t ? 3

+ - +

Использование свойств функции

ОДЗ: 3 – х ? 0, х ? 3

При х = 3 функция принимает наименьшее значение

Е(у) = ( - ?;4]

Функция g(x) = x принимает значения (-?;3]

Следовательно, х = 3

Ответ: 3

f(x)

3

3

g(x)

Решение систем показательных уравнений и неравенств

1. Способ сложения

2. Способ подстановки

Решите систему:

Х1 = - 4, х2 = 5

Х2 – х + 20 = 0

Ответ: (-4;log5134); (5;3)

Заметим, что у > 0

Решение систем показательных уравнений и неравенств

3. Способ замены

Решите систему:

2х = t, t > 0

Ответ: (2;3); (3;2)

3х = t, t > 0 2y/2 = d, d > 0

4. Использование теоремы Виета

5. Способ деления

Решите систему:

Пусть 3х и 2у корни квадратного уравнения

t2 – 17 t + 72 = 0

t1 = 8, t2 = 9

Так как ни одно уравнение не может быть равным нулю, разделим 1-ое на 2-ое

6. Способ расщепления (разложения)

Так как при х = 1 и у = 0 получаем верные равенства, то они являются корнями системы

Найдем другие корни системы путем деления.

Ответ: (1;0); (- 1;-2/15)

Ответ: (-4;0); (2;1)

7. Смешанные системы

Проанализируй оба уравнения! Выберите простое, используя «очевидное». Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если каждое из них равно нулю.

Было бы ошибкой решать сразу первое уравнение системы.

Т.к |cos2y| ? 1

Проверим первое уравнение:

Равенство верно

Решений нет

Ответ: (3; 3?/2+2?n), n € Z

Из второго уравнения:

Посторонний корень

Т.к. cosy ? 0, отметим на окружности соответствующую дугу и нанесем корни у = - ?/4 + ?n

Найдем х из второго уравнения:

Ответ: (20; 3?/4+2?n), n € Z

3?/4

- ? /4

8. Системы неравенств

Приведем систему в стандартный вид

1

2

Решим 1 неравенство:

Решим 2 неравенство:

Так как основания одинаковые, а показатели не приводятся к одному, попробуем разложить на множители:

Т.к. 32х > 0 умножим обе части на 32х

+ - + -

1

2

1

2

Х ? 3, х = 0, х = 2

0 2 3