Презентация на тему «Решение систем уравнений второй степени»

Решение систем уравнений второй степени

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений

А решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Системы уравнений с двумя переменными можно решать а) графически; б) способом подстановки; в) способом сложения. Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему. Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.

Пример1

С помощью графиков решим систему уравнений: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4, Решение. y – x2 = 0. На геометрическом языке решить систему уравнений – значит найти все общие точки графиков уравнений, входящих в систему. Поэтому выясним, что является графиком каждого из уравнений данной системы. Итак, графиком уравнения (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4 является окружность радиуса 2 с центром в точке с координатами (3; 4). Графиком уравнения y – x2 = 0 является парабола y = x2, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке с координатами (0;0). Изобразим графики уравнений в одной системе координат и найдём координаты точек пересечения, это и есть решения системы. Ответ: x1 1,7, y1 2,5; x2 2,4, y2 5,9.

Пример2

Решим систему уравнений способом подстановки: 0,5x2 - y = 2, y - x = 2. Решение. 1) Выразим из второго уравнения системы y через x, получим уравнение: y = x + 2. 2) В первое уравнение системы вместо y подставим выражение ( x + 2), получим уравнение: 0,5x2 - ( x + 2) = 2, решим его. 0,5x2 - x - 2 = 2, 0,5x2 - x - 2 - 2 = 0, 0,5x2 - x - 4 = 0. Домножив обе части уравнения на 2, получим уравнение равносильное предыдущим: x2 - 2x - 8= 0. Используя теорему, обратную Виета, находим корни квадратного уравнения – ими являются числа -2 и 4. 3) Если x = -2, то y = x + 2 = -2 + 2 = 0. Если x = 4, то y = x + 2 = 4 + 2 = 6. Ответ: { (-2; 0), (4; 6) }

Пример3

Решим систему уравнений способом сложения: x2 - 2xy – 3 = 0, 2x2 + 3xy – 27 = 0. Решение. 1) Первое уравнение системы умножим на 3, а второе – на 2. Получим систему, равносильную данной: 3x2 - 6xy – 9 = 0, 4x2 + 6xy – 54 = 0. 2) Сложив уравнения системы, получим уравнение с одной переменной: 7x2 – 63 = 0, 7x2 = 63, x2 = 63 : 7, x = ± 3. 3) Подставим найденные значения х в первое уравнение системы: если х = - 3, то (- 3)2 – 2*(- 3)*y – 3 = 0, отсюда у = - 1; если х = 3, то 32 – 2*3*y – 3 = 0, отсюда у = 1. Ответ: { (- 3; - 1), (3; 1) }.

Решите графически системы уравнений: ху + 3 = 0, 2) у = , у = x2 + 2

ху - 8 = 0.

(- 1; 3)

( 4; 2)

Ответ (по щелчку)

Ответ (по щелчку)

Решите самостоятельно системы уравнений: 1) х – у = 7, х2 + у2 = 9 –

2ху ; 2) ху = - 8, (х – 4)*(у – 2) = - 12; 3) х – у = 2, 1/x – 1/y = - 2/3.

В случае затруднений в ходе решения, загляните в подсказки

П о д с к а з к и Система 1)

Если во втором уравнении системы слагаемое «- 2ху» перенести в левую часть, то там получим квадрат суммы (х + у)2 . В первом уравнении системы выразим х через у и подставим получившееся выражение во второе преобразованное уравнение; решив его, найдем значения у. Найдя значение у, найдем соответствующие значения х. Ответ: { (2; - 5), (5; - 2) }. Система 2). Если во втором уравнении системы раскроем скобки, слагаемое «ху» заменим значением «-8» и приведем подобные слагаемые, а затем разделим обе части уравнения на «2», то сможем выразить х через у. Подставив полученное выражение х через у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение относительно у; решив его, найдем значения у. Найдя значение у, найдем соответствующие значения х. Ответ: { (- 2; 4), (8; - 1) }. Система 3). Если из первого уравнения системы выразим х через у и подставим во второе уравнение, то получим дробно-рациональное уравнение относительно у ; решив его, найдем значения у. Найдя значение у, найдем соответствующие значения х. Ответ: { (3; 1), (- 1; - 3) }. Далее ознакомьтесь с графическим способом решения систем

Графический способ решения системы 1)

Ответ: { (2; - 5), (5; - 2) }

Графический способ решения системы 2)

Ответ: { (- 2; 4), (8; - 1) }

Графический способ решения системы 3)

Ответ: { (3; 1), (- 1; - 3) }