Решение тригонометрических уравнений

Тема: Решение тригонометрических уравнений (методы решения) Цель урока

Рассмотреть виды тригонометрических уравнений и методы и х решения. Учебник Колмогоров. Цели: Образовательная А. Выработать прочные навыки тригонометрических уравнений. Б. Отработать алгоритм решения различных видов тригонометрических уравнений. Развивающая А. Способствовать формированию умений классифицировать тригонометрические уравнения по методу их решения. Б. Развивать умения, обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод. В. Активизировать самостоятельную деятельность, развивать познавательный интерес и развивать творческое воображение. 3. Воспитывающая цель А. Содействовать понимание значимости этого урока на данном этапе Б. Воспитание чувства коллективизма и ответственности

План открытого урока учителя Абрамовой С.И.в виде презентации 10 классе – 90 минут

Знать и уметь

Методы решения тригонометрических уравнений, сравнивать уравнения и находить отличия и уметь их решать.

Оборудование урока

Компьютер Проектор Ход урока Оргмомент Проверка домашнего задания (с целью восприятия нового материала и успешной работе на уроке) 1 задание классу: заполнить таблицы (на столах у каждого готовая таблица для заполнения).

Заполнить таблицу значений тригонометрических функций

?

?

2

Sin ?

Sin ?

Cos ?

Cos ?

Tg ?

Tg ?

Ctg ?

Ctg ?

Дать определение sin x, cos x, tg x, ctg x, используя, единичную

окружность

y

Sin x

(0,1)

K

M(Xa, Ya)

tg a

P(-1,0)

x

P0(1,0)

Cos x

(0,-1)

a

Y a

X a

Проверочная работа с целью подготовки восприятия нового материала

Записать формулу решения уравнений Cos x = a sin x = a При какой значении а уравнения имеет решения Построить единичную окружность укажите на какой оси откладывается а при решении уравнения Cos x = а sin x = а

Вариант №2

Вариант №1

Дать определения tg x, ctg x, записать формулы решения уравнений в

таблицы. Написать частные случаи решения уравнений.

Заполнить таблицу

Задание

Формулы для решения тригонометрических уравнений

Частные случаи решения тригонометрических уравнений

Ответы

Sin x = A

Sin x = -1 Sin x = 0 Sin x = 1

Cos x = A

cos x = -1 cos x = 0 cos x = 1

Tg x = A

Tg x = 0 Tg x = 1 Tg x = -1

Ctg x = A

Сtg x = 0 сtg x = 1 сtg x = -1

Задание №3

Дать определение обратных тригонометрических функций, указать область определения и область значений функции. Что такое arcsin а arccos а В каком промежутке находится значение а Что называется arctg а и arcctg а , в к аком промежутке находятся число а

Задание №4 Найти значения arcsin, arccos,arctg, arcctg

Arcsin arccos (- ) аrccos arccos (- ) arctg arcsin 3 arctg 1 arctg arcsin -45° arctg 0 arcsin - arcsin 0 arccos - arccos 0

Проверка решений

Arcsin = arccos (- ) = аrccos = arccos (- ) = arctg = arcsin 3 нет arctg 1 = arctg = arcsin -45° нет arctg 0 = 0 arcsin (- = - arcsin 0 = 0 arccos (- ) = arccos 0 =

Задание №5 – установить соответствие

Установить соответствие между (уравнение <-> решение) Cos x = - 1 x = + n, nЄZ Sin x = 0 x = n, nЄZ Sin x = - 1 x= n, nЄZ Cos x = 1 x = 2 n, nЄZ Cos x = x = - + 2n Sin x = x = * + n, nЄZ Tg x = 1 x = + 2n Cos x = 0 x = + n cos x = x = + n Sin x = 1 x = + n

Основная часть урока

Определить по типу уравнения и указать формулы для решения данных уравнений. Тип №1 x = a формула: X= arcsin + , kЄZ x = a формула: X= arccos + , kЄZ x = a Формула: X= arctg + , kЄZ x = a Формула: X= arcctg + , kЄZ

Задание классу

Решите уравнение 3x = Решение: 3x= arccos + , kЄZ X= +* , kЄZ

Определить тип уравнения

A x + b sin x + с = 0 Вопрос классу: какое это уравнение по виду? Как его решить ? Ответ: решаем как квадратное уравнение.

Задание классу №7

Решить уравнения x + cos x – 1 = 0 Проверяем фронтально

Определить тип уравнения

Какой вид этого уравнения? Ответ: уравнения с разными тригонометрическими функциями, но с одном аргументом Вопрос: как решить уравнение данного типа? Ответ : выразим через одну тригонометрическую функцию, решаем как предыдущее. Решить уравнение 0

Решение уравнения

1 - + >>>>> - – 2 = 0 < = t |t| ? 1< - t – 2 = 0 ? t1 = 2 t2 = -1 sinx=2 – решений нет sinx = -1 x= - + 2 n, nєz

Уравнения, левая часть которых разлагается на множители

Как решить такое уравнение? 1 + sinx*cosx-sinx-cosx=0 ответ: сгруппировать и разложить на множители. учитель: решить это уравнение. Проверяем фронтально.

Определить тип уравнения

4 x + 3sinx*cosx-7 Какое это уравнение? Это уравнение однородное как решается однородное уравнение? Ответ: нужно разделить левую часть на x ?0 Какое получим уравнение ? Квадратное относительно тангенса 4 + 3 tgx-7=0 Решите его

Как решить такое уравнение

a x+b*sinx*cosx+c* =в Ответ: необходимо привести данное уравнение к однородному, записать b=b*(x+x) и решать как решается однородное уравнение.

Решить уравнение, решаем у доски с разбором

2cosx-4cos +3=0 Вопрос: чем это уравнение отличается от предыдущих уравнений. Ответ: разные аргументы. Как привести к одному аргументу(проблема) выражаем cosx по формуле двойного угла Cosx= = 2 -1

Преобразуем данное уравнение , получаем - 4cos + 1= 0 = 0 x= +4 n

Уравнение вида

Sin5x + sin3x = 0 (рассмотрим как сумму синусов) sin5x + sin3x = 2sin4x*cosx = 0 sin4x=0 cosx=0 X= * n,nєz x= + n,nєz

Решить самостоятельно

Решить sin6x – sin2x=0 Работа в группах

2 урок

Решение тригонометрических уравнений с отбором корней и уравнение вида a*sinx+b*cosx Цель: научить отбирать корни на промежутке Решать уравнения с помощью введения дополнительно угла Метод урока – проблемно – поисковый(учитель рассказывает, привлекает учеников к решению проблемы).

Решение тригонометрических уравнений с отбором корней

Проверить усвоение методов решения тригонометрических уравнений Решить уравнения и отобрать корни на отрезке [0; ] Sin a * cos 2a + cos a*sin 2a =

Решение

Sin (x + 2x) = (применяем формулу sin (a + b)) Sin 3x = 3x = + , kЄZ X = + k, kЄZ Для отбора корней принадлежащих [0; ] рассмотрим решение этого уравнения на тригонометрическом круге

Решим на круге уравнение sin 3x = , на оси Y отметим точку с

координатами (0: )через эту точку проведём прямую параллельную оси x, найдём точки пересечения с кругом .Зафиксируем точки. 3x = + 2n и 3x = + 2n X = + n и x = n

Sin x

P(-1,0)

x

P0(1,0)

Cos x

(0,-1)

Y

Поместим первый корень в отрезок [0; ] и решим двойное неравенство 0

+ n ? 0 ? + n ? ? n ? - - ? n ? - ? n ? - ? n ? ? n ? - ? n ? n = 0 n = 1 n = 0 n = 1 X1 = X2 = x3 = x4 = Ответ: общее решение x = X = + k, kЄZ X1 = X2 = x3 = x4 = На отрезке [0; ]

Решить уравнение вызываю второго ученика к доске

4x - 4x = - (вспомним формулы двойного угла cos = )

Проверка решения

cos 8x = - 8x = + 2 n (x = ( – arccos a) + 2 n,nЄZ) -1 < a < 0 X = + ,nЄZ Ответ: X = + ,nЄZ

Разберём уравнение с1 с ЕГЭ

5 sin 2x – 11 (sinx + cosx) + 7 = 0 Решить уравнение и отобрать корни на отрезке от 0 до . Для решения вызываю сильного Решаем по стандартной схеме Вводим новую переменную t Наше уравнение с помощью замены переменной приводим к квадратному уравнению

5 sin 2x – 11 (sinx + cosx) + 7 = 0 Решаем данное уравнение

стандартным методом. Обозначим sinx+cosx =t Выразим sin2x через t = 1 + sin2x= Sin2x = - 1 5 -11t+2=0 D=121-40=81 T1=2 t2=

Вернёмся к исходной переменной и решим два уравнения Sinx+cosx=

Sinx+cosx= Уравнения вида asinx+bcosx=с решаем с помощью введения дополнительно угла ? Найдём для нашего уравнения a = 1 и b = 1 значит =

Умножим левую часть уравнения на и разделим её на

Получим *( + * cosx) = Мы знаем что = sin = cos Подставим уравнение этим значением, получим * (sin * sinx + cos * cosx) = Разделим обе части уравнения на получим sinx* sin + cos * cosx =

Cos(x ) = x1= + arccos + 2 n, nЄZ X - = arccos + 2 n >> x2= - arccos + 2 n, nЄZ Мы нашли корни, то есть общее решение, у нас есть ещё одно задание: отобрать корни данного уравнения на отрезке от 0 до . Делаем это на тригонометрическом круге. На оси x откладываем ? 0,14 мы видим что x1= принадлежит отрезку от [0; ] . ответ: x1и x2 см. выше и x= Є [0; ]

Срез знаний

Самостоятельно решить одно из уравнений

Оценки

Оценки

1 вариант

1 вариант

2 вариант

2 вариант

На «3»

На «3»

3sinx-=0

«4»

Cos2x+cosx=0

Cos2x+sinx=0

«4»

Cos2x+cosx=0

Cos2x+sinx=0

«5»

«5»

-1 Указать корни на отрезке от до

-1 Указать корни на отрезке от до

Рефлексивно – оценочная часть урока

Собираем тетради и оценочные листы Даю качественную оценку каждому ученику Оценку получает каждый ученик за первый и второй урок. Домашнее задание №170 a,b(171a,b) Дополнительно рассмотреть методы решения sinx+cosx=1 Подумайте сколькими способами можно решить это уравнение.