Решение задач, связанных с квадратичной функцией, содержащей параметр

Решение задач, связанных с квадратичной функцией, содержащей параметр

1

Неполные квадратные уравнения

Определить при каких значениях k уравнение: имеет корень равный нулю. Ответ: k=2 или k=-2

Решение

2

Теорема Виета

1. Не решая уравнения найти, при каком а один из корней в два раза больше второго. Ответ: 4

Решение

3

Теорема Виета

2. При каком значении параметра а сумма обратных величин действительных корней уравнения равна 2/3? Ответ:

Задачник

Решение

4

Знаки корней квадратного уравнения

При каком а, уравнение имеет два различных отрицательных корня. Ответ:

Задачник

Решение

5

Расположение корней квадратного трехчлена

При каких значениях а все решения уравнения удовлетворяют условию 0<X<3? Ответ:

Решение

6

Расположение корней квадратного трехчлена

При каких значениях параметра а, только один корень уравнения имеющего различные корни, принадлежит интервалу (-1;4)? Ответ:

Решение

7

Расположение корней квадратного трехчлена

При каких значениях параметра а из неравенства 1<x<2 следует неравенство Ответ:

Решение

Задачник

8

Решение: если свободный член уравнения равен нулю, то один из корней

равен 0. Ответ: k=2 или k=-2

9

При каком значении параметра сумма обратных величин корней уравнения

равна ? Решение. Корни исходного уравнения могут существовать при условии или Пусть -корни данного уравнения. Согласно теореме Виета (1) По условию Используя равенства (1), имеем: Следовательно сумма обратных величин корней заданного уравнения равна при условии и и Ответ:

10

Не решая уравнения найти, при каком один из корней в два раза больше

другого. Решение. Пусть -корни исходного уравнения. По условию Чтобы найти корни , удовлетворяющие условию задачи, необходимо решить систему: Ответ: 4

11

Задачи для тренировки

1) При каких значениях один из корней уравнения равен 0? а) б) 2) При каких значениях каждое из следующих уравнений Имеет два различных действительных корня? а) б) в) 3) Решите уравнение 4)При каких значениях параметра разность корней уравнения равна их произведению? 5) Найти все значения , для которых разность корней уравне- ния равна 1.

12

При каком уравнение имеет два различных отрицательных корня

Решение. Пусть Используя условие задачи, изобразим схематически, возможное расположение графика функции f(x) Для того чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) D>0; 2) (a+5)f(0)>0;3) X0<0 D=8a+209; f(0)=a-10; X0=-(2a-3)/(2(a+5)) Таким образом задача свелась к решению системы неравенств: Ответ:

13

Задачи для тренировки

1) Найти все значения параметра , при которых корни уравнения одного знака. 2) При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от . а) б) в) г) д)

14

При каких значениях все решения уравнения удовлетворяют условию

Решение. Пусть . Если , то необхо- димым и достаточным условием для того, чтобы функция имела все свои корни, принадлежащие интервалу, будет выполнение системы нера-. венств: где Решив данную систему, получим Если , то Ответ: ,

15

При каких значениях параметра только один корень уравнения , имеющего

различные корни, принадлежит интервалу (1;4)? Решение. Пусть Заметим, что абсцисса вершины параболы, являющейся графиком функции равна 2. В силу симметрии данной параболы относительно прямой х=2, приходим к выводу, что, при условиях задачи, интервалу (1;4) может принадлежать только больший корень уравнения. Таким образом, аналитически решение нашей задачи сводится к решению системы Ответ:

16

При каких значениях параметра из неравенства 1<x<2 следует неравенство

? Решение. Пусть Тогда требование задачи выполняется, если трехчлен имеет два корня , для которых справедливы неравенства , то есть совместна система: решив систему получаем: Ответ:

17

Задачи для тренировки

1). При каких значениях параметра корни уравнения больше 1? 2). При каких значениях параметра один из корней уравнения больше числа , а другой меньше числа ? 3). При каких значениях параметра корни уравнения удовлетворяют условиям 4). При каких значениях параметра корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?

18