Системы двух уравнений с двумя переменными

Системы двух уравнений с двумя переменными

Содержание

Основные определения и понятия

I. Виды и методы решения систем

1. Подстановка

2. Алгебраическое сложение

3. Деление одного уравнения на другое

4. Выделение полного квадрата

5. Замена совокупностью систем

6. Теорема Виета

7. Замена переменной

8. Однородное

9. Симметричные (специальная замена)

Основные определения и понятия

Если ставиться задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя (и более) переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Решением системы с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением каждого уравнения. Решить систему – значит найти множество всех ее решений, или доказать что их нет. Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают.

I. Виды и методы решения систем 1. Подстановка

x2-3xy-2y2=2 x+2y=1

1-4y+4y2-3y+6y2-2y2=0 8y2-7y-1=0 D=49+32=81 y1=1; y2=-1/8

x=1-2y (1-2y)2-3(1-2y)y-2y2=2

x=-1 y=1

x=-5/4 y=-1/8

Или

Ответ: (-1;1); (-5/4;-1/8)

I. Виды и методы решения систем 2. Алгебраическое сложение

x2-2y2=14 x2+2y2=18

2x2=32 x=4 или x=-4

x=4 2y2=18-x2

x=-4 2y2=18-x2

Или

x=4 y=1

x=4 y=-1

x=-4 y=1

x=-4 y=-1

Или

Или

Или

Ответ: (4;1); (4;-1); (-4;1); (-4;-1)

I. Виды и методы решения систем 3. Деление одного уравнения на другое

x2-y2=24 x-y=4

Разделим первое уравнение на второе

x+y=6 x-y=4

x=5 y=1

Ответ: (5;1)

I. Виды и методы решения систем 4. Выделение полного квадрата

x2+y2=25 xy=12

Умножим второе уравнение на 2. Результат сначала сложим с первым, а потом вычтем из первого.

x2+y2+2xy=49 x2+y2-2xy=1

(x+y)2=49 (x-y)2=1

1. X+y=7 или x+y=-7 2. X-y=1 или x-y=-1

x+y=7 x-y=1

x+y=7 x-y=-1

x+y=-7 x-y=1

x+y=-7 x-y=-1

Или

Или

Или

x=4 y=3

x=3 y=4

x=-3 y=-4

x=-4 y=-3

Или

Или

Или

Ответ: (4;3); (3;4); (-3;-4); (-4;-3)

I. Виды и методы решения систем 5. Замена совокупностью систем

xy+x2=10 xy+y2=15

(x+y)2=25 (x+y)(x-y)=-5

1. X+y=5 или x+y=-5 2. (X-y)(x-y)=-5

x+y=5 5(x-y)=-5

x+y=-5 5(x-y)=-5

Или

x=2 y=3

x=-2 y=-3

Ответ: (2;3); (-2;-3)

I. Виды и методы решения систем 6. Теорема Виета

x+y=8 xy=20

x=-2 y=10

x=10 y=-2

Или

Ответ: (-2;10); (10;-2)

I. Виды и методы решения систем 7. Замена переменной

+ =3

А=

b=

4a+12b=3 8a-18b=-1

+ =-1

x=5 y=1

-42b=-7

b=1/6 4a+12b=3

Ответ: (5;1)

b=1/6 a=1/4

I. Виды и методы решения систем 8. Однородное

x2-xy-2y2=0 x2+2y2=3

X2-xy-2y2=0 | разделим на y2=0 в данной системе

x=2y (2y)2+2y=3

=a

x=-?2 y=-

a2-a-2=0 a1=-1; a2=2

Или

=2

Или

=-1

x=-1 y=1

x=1 y=-1

x=2y x=-y

Или

Ответ: (?2; ); (-?2; - ); (-1;1); (1;-1)

I. Виды и методы решения систем 9. Симметричные (специальная замена)

2(x+y)=3xy x2+y2-x-y=2

x2+y2-x-y+2xy+y2-(x+y)-2xy= =(x+y)2-(x+y)-2xy x+y=a; xy=b

2a=3b a2-a-2b=2

B=2/3a a2-a-4/3a=2 |умножим на 3 3a2-7a-6=0 D=49+72=121 a1=3; a2=-2/3

a=3 b=2

a=-2-3 b=-4/9

Или

x+y=3 xy=2

x+y=-2/3 xy=-4/9

Или

X2+2/3x-4/9=0 умножим на 9 9x2+6x-4=0 D1=9+36=45 x1= ; x2= -

(1;2); (2;1)