Сложная функция

Сложная функция

Сложная – не значит трудная!

Содержание

Введение понятия сложной функции Примеры построения графиков Множество значений сложной функции

f(x)

y=f(x)

Определение функции

X

Y

y0

x0

y0=f(x0)

Функция – соответствие между множествами (Х и У), при котором каждому элементу первого множества (Х) соответствует не более одного элемента другого множества (У).

У0

x0

Сложная функция Композиция двух функций

f(t)

g(x)

Y

T

X

y=f(g(x))

У0

t0

x0

x0

Y=f(g(x)) – – сложная функция g(x) – внутренняя функция f(t) – внешняя

функция

Формула для задания сложной функции

Пример. g(x) = х2 - 4 – внутренняя функция f(t) = – внешняя функция

Примеры сложных функций

1. y = sin2x 2. y = (x3 – 1 )5 3. y = cos(7x + 2) 4. y = 5. y = sin2x + 5sinx

Назовите внутреннюю и внешнюю функцию

Примеры построения графиков

y = sin 2x

Пример 1

Пример 2

Пример 1

g(x)=x2-4

1. Найдем область определения функции: D(y) = (-?; -2] U [2; +?) Функция четная. Построим графики внутренней и внешней функции:

?

t

y

t

Х

y

Х

Как построить график

g(x)=x2-4

t0

y0

x0

t0

y0

x0

-2

2

2

0

0

0

2 ; +

0 ; + ?

Х

t

y

0 ; + ?

t

y

t

Х

y

Изменение значений x, t, y

Х

g(x)=x2-4

t0

y0

x0

t0

y0

x0

-2

2

-2

2

0

0

0

Использование четности: график симметричен относительно оси ординат

y

-2

2

Х

0

0

Пример 2

1. D(y) = R Функция нечетная. Функция периодическая, период: ?. Построим графики внутренней и внешней функции:

G(x)=2х

y

t

1

?

Х

t

y

Х

Как построить график y = sin2x ?

g(x)=2x

0

0

0

Таблица изменений значений x, t, y

x

t

y

?

0

;

;

;

;

Х

0 ;

t

0 ;

y

0 ; 1

y

t

t

1

?

Х

t

y

Изменение значений x, t, y

1

Х

g(x)=2x

0

0

0

1 ; 0

Х

t

y

;

;

?

y

1

Х

?

t

y

Изменение значений x, t, y

1

Х

?

t

g(x)=2x

0

0

0

0 ; - 1

Х

t

y

;

;

?

y

1

Х

?

t

y

Изменение значений x, t, y

1

Х

?

t

g(x)=2x

0

0

0

-1 ; 0

Х

t

y

;

;

?

y

1

2?

Х

?

t

y

Изменение значений x, t, y

1

Х

2?

?

2?

t

g(x)=2x

0

0

0

Таблица изменений значений x, t, y

x

t

y

?

?

?

2?

0

;

;

;

;

0

;

;

;

0

1

1

;

0

0 ; - 1

- 1 ; 0

Y = sin2x

1

y

1

Х

t

?

y

?

2?

Х

t

g(x)=2x

0

0

0

Нахождение множества значений сложной функции

Решение. Внутренняя функция принимает значения от 2 до 4, так как 2?3+sinx?4. Рассмотрим внешнюю функцию: Заметим, что она определена только при тех значениях t, для которых 2?t?4.

Пример. Дана функция

Найдите Е(у).

E(y)=[0,25; 0,5]

Множество значений сложной функции как множество значений внешней функции

2

4

2 ? t ? 4, 0,25 ? y ? 0,5

При 2?t?4

1

0,5

0,25

0

y

t