Презентация на тему «Свойства пределов»

Свойства пределов

Пример.

Функция На множестве (1.2) – ограниченная; На множестве (0.1) - ограниченная снизу; На множестве (-1.1) – неограниченная; На множестве (1. ) – ограниченная; На множестве (0, ) ограниченная снизу.

1. Ограниченность функции, имеющей предел. Определение. Функция называется ограниченной на множестве D, если Теорема.

y

Х

3

2

1

1

2

3

-1

0

Свойства пределов

Теорема (о разности между функцией и ее пределом) 1. Прямая теорема: (необходимость) 2. Обратная теорема: (достаточность)

Где - бесконечно малая при

Где - бесконечно малая при

Где - бесконечно малая при

Свойства пределов

Доказательство прямой теоремы. Доказательство обратной теоремы.

Где - бесконечно малая при

Доказательство 1 свойства (для суммы)

1.Обозначим 2.Возьмем число ,где произвольное положительное число. 3.Из определения бесконечно малых величин следует: Тогда

Свойства пределов.

2.Основные свойства бесконечно малых величин. Пусть и - бесконечно малые при Тогда при 1. - бесконечно малая величина. 2. -бесконечно малая величина. 3. - бесконечно малая величина, если ограниченная величина.

Д.з. Докажите свойство 3.

Доказательство 1 свойства

1. где и - бесконечно малые при 2. Следовательно

Свойства пределов.

3. Основные свойства пределов. Пусть существуют Тогда: 1. 2. 3.если ,то

Д.з. Докажите свойство 2.

Число

Бесконечно малая

Свойства пределов

4. Бесконечно большие величины при . Определение. Функция называется бесконечно большой при если Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин. Теорема 1. Если - бесконечно большая величина при , то - бесконечно малая величина.

y

Х

M

0

-M

Свойства пределов

Теорема 2. Доказательство. 1. Возьмем произвольное и обозначим 2. Так как ,то Следовательно

Если - бесконечно малая величина при то - бесконечно большая величина.

Свойства пределов

5. Бесконечно большие при . Определение. Геометрическая интерпретация.

y

Х

M

Х

-N

0

N

Свойства пределов

6. Два признака существования предела. Теорема 1. Пусть Геометрическая интерпретация.

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Пусть 1. 2.

y

Х

0

Свойства пределов

7. Первый замечательный предел. Доказательство. 1. 2. 3. OBA OBA OCA

C

B

0

D

A

Свойства пределов

4. 5. 6. По первому признаку существования предела:

Свойства пределов

8. Второй замечательный предел. 1. 2. Утверждения: 3. По второму признаку существования предела:

Свойства пределов

4. Пусть . Тогда Если , то