Вероятность
<<  Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика  >>
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Основные формулы комбинаторики
Основные формулы комбинаторики
Правило умножения
Правило умножения
Правило умножения аналогичным образом распространяется на случай,
Правило умножения аналогичным образом распространяется на случай,
Правило сложения
Правило сложения
Правило сложения аналогичным образом распро-страняется на случай трёх
Правило сложения аналогичным образом распро-страняется на случай трёх
Пример
Пример
Пусть имеется множество из n различных элементов:
Пусть имеется множество из n различных элементов:
Число всех возможных перестановок:
Число всех возможных перестановок:
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:
Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов
Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:
Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:
Классификация событий
Классификация событий
Определение вероятности
Определение вероятности
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
N – общее число случаев,
2. Геометрическое определение вероятности
2. Геометрическое определение вероятности
Пример
Пример
Свойства вероятности
Свойства вероятности
Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Контрольные вопросы

Презентация: «Теория вероятностей и математическая статистика». Автор: Анечка. Файл: «Теория вероятностей и математическая статистика.ppt». Размер zip-архива: 285 КБ.

Теория вероятностей и математическая статистика

содержание презентации «Теория вероятностей и математическая статистика.ppt»
СлайдТекст
1 Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Занятие 1. Элементы комбинаторики. Определение вероятности. Простейшие задачи

Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н., Шерстнёва Анна Игоревна

1

2 Основные формулы комбинаторики

Основные формулы комбинаторики

Пусть имеется множество из n элементов, причём неважно какой природы эти элементы:

x1, x2, … , xn

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются различные комбинации элементов конечного множества.

На практике чаще представляет интерес не вид конкретной комбинации, а количество комбинаций, которых можно составить из элементов данного множества.

2

3 Правило умножения

Правило умножения

Если из некоторого конечного множества первый элемент можно выбрать n1 способами, а второй элемент – n2 способами, то оба элемента в указанном порядке можно выбрать n1? n2 способами.

Пример. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

6 чисел

n2 = 6

n1 = 6

6 чисел

6 чисел

36 чисел

6 чисел

6 чисел

n1 ? n2 = 36

6 чисел

3

4 Правило умножения аналогичным образом распространяется на случай,

Правило умножения аналогичным образом распространяется на случай,

когда выбирается три и более элемента.

Пример. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Всего 7 цифр.

Первая цифра –

7 способов

6 способов.

Вторая цифра –

7 способов.

Третья цифра –

7 способов.

По правилу умножения:

294 числа

6 ? 7 ? 7 =

4

5 Правило сложения

Правило сложения

Если из некоторого конечного множества первый элемент можно выбрать n1 способами, а второй элемент – n2 способами, причём первые и вторые способы не пересекаются, то один из этих элементов (первый или второй) можно выбрать n1 + n2 способами.

Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных и 40 белых шаров. Сколькими способами можно выбрать красный или белый шар?

Красный шар –

n1 = 20

20 способов.

Белый шар –

n2 = 40

40 способов.

n1 + n2 = 20 + 40 =

60 способов

По правилу сложения:

5

6 Правило сложения аналогичным образом распро-страняется на случай трёх

Правило сложения аналогичным образом распро-страняется на случай трёх

и более элементов.

Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных и 40 белых шаров. Сколькими способами можно выбрать не белый шар?

Не белый шар – это либо красный, либо жёлтый, либо чёрный.

n1 = 20

n2 = 30

n2 = 10

По правилу сложения:

60 способов

n1 + n2 + n3 = 20 + 30 + 10 =

6

7 Пример

Пример

Сколько двузначных и трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Двузначные числа.

7 способов.

Первая цифра –

Вторая –

6 способов,

По правилу умножения:

6 ? 7 =

42 способа

Трёхзначные числа.

Первая цифра – 6 способов, вторая – 7, третья – 7.

По правилу умножения:

294 способа

6 ? 7 ? 7 =

По правилу сложения:

336 чисел

n1 + n2 = 42 + 294 =

7

8 Пусть имеется множество из n различных элементов:

Пусть имеется множество из n различных элементов:

x1, x2, … , xn

Перестановками называются комбинации, состоящие из всех элементов множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Пример.

n=5

x1, x2, x3, x4, x5

x5, x4, x3, x2, x1

x3, x1, x5, x2, x4

8

9 Число всех возможных перестановок:

Число всех возможных перестановок:

Примеры.

1) Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3 и 5, если каждая цифра входит в число только один раз?

2, 3, 5

5, 3, 2

3, 5, 2

2) Сколькими способами можно рассадить 6 человек на 6 стульях?

9

10 Размещениями называют комбинации, составленные из n различных

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных

элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Пример.

n=6

x1, x2, x3, x4, x5 , x6

m=4

x1, x2, x3, x4

x2, x3, x4, x5

x3, x2, x4, x5

x5, x4, x3, x2

10

11 Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:

Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов:

Примеры.

1) Имеется 5 карточек, на первой написана цифра 1, на второй – цифра 2, и т.д. Сколько трёхзначных чи-сел можно составить с помощью этих карточек?

2) Сколькими способами награды за I, II, III места могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

11

12 Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов

по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Пример.

n=6

x1, x2, x3, x4, x5 , x6

m=4

x1, x2, x3, x4

x4, x3, x2, x1

x3, x4, x2, x1

=

=

x2, x3, x4, x5

x1, x2, x4, x5

x5, x6, x3, x2

12

13 Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов:

Примеры.

1) Сколькими способами можно выбрать 3 шара из 5 имеющихся?

2) Сколькими способами можно составить букет из 5 цветков, если всего имеется 10 цветков?

13

14 Классификация событий

Классификация событий

1. Достоверные события.

1) Наступление ночи каждые сутки.

2) Появление листьев на деревьях с приходом весны

2. Невозможные события.

Если в кармане лежит только 100 рублей, событие, что вы возьмёте из этого же кармана 1000 рублей

2) Превращение воды в лёд при нагревании

3. Случайные события.

1) Сдача экзамена с первого раза

2) Выпадение решки при бросании монеты

14

15 Определение вероятности

Определение вероятности

Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события.

1. Классическое определение вероятности:

N – общее число случаев,

m – число случаев, благоприятствующих событию A, то есть при которых событие А имеет место.

15

16 N – общее число случаев,

N – общее число случаев,

M – число благоприятствующих случаев.

Пример 1. В коробке 3 белых и 4 чёрных шара. С какой вероятностью наугад выбранный шар окажется белым?

3 белых

7

7

4 чёрных

3

16

17 N – общее число случаев,

N – общее число случаев,

M – число благоприятствующих случаев.

Пример 2. С какой вероятностью число от 1 до 10, выбранное наугад, окажется делящимся на 3?

3, 6, 9

3 делятся

10

10

7 не делятся

3

17

18 N – общее число случаев,

N – общее число случаев,

M – число благоприятствующих случаев.

Пример 3. В одном ящике лежат 6 карточек с цифрами от 1 до 6, а во втором – 7 с цифрами от 3 до 9. Из каждого ящика достают по одной карточке. Какова ве-роятность, что на карточках будут одинаковые цифры?

m – ?

3, 3

4, 4

5, 5

6, 6

n – ?

1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9

7

+7 +7 +7 +7 +7

18

19 N – общее число случаев,

N – общее число случаев,

M – число благоприятствующих случаев.

Пример 4. Мужчина зашёл в цветочный киоск купить букет. Продавец составил букет из 7 роз. Какова вероятность, что все розы были белые, если в киоске имелось 20 красных и 15 белых роз?

19

20 N – общее число случаев,

N – общее число случаев,

M – число благоприятствующих случаев.

Пример 5. Мужчина зашёл в цветочный киоск купить букет. Продавец составил букет из 7 роз. Какова веро-ятность, что в букете оказались 3 белые розы и 4 крас-ные, если в киоске было 20 красных и 15 белых роз?

20

21 2. Геометрическое определение вероятности

2. Геометрическое определение вероятности

Отрезок l – часть отрезка L, на отрезок L поставлена наудачу точка

Вероятность попадания точки на отрезок l

Плоская фигура g – часть фигуры G

Вероятность попадания точки на фигуру g

21

22 Пример

Пример

В квадрат со стороной 8 см наудачу брошена точка. Какова вероятность, что эта точка окажется внутри вписанного в квадрат круга?

Вероятность попадания точки на фигуру g

G – квадрат

Площадь квадрата –

64

8

G – круг

Площадь круга –

22

23 Свойства вероятности

Свойства вероятности

1.

1. Вероятность достоверного события равна

2. Вероятность невозможного события равна

0.

3. Вероятность случайного события

23

24 Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Чем занимается комбинаторика? Сформулируйте правило умножения. Что такое перестановки? Как найти число всех перестановок из n элементов? Что такое сочетания? Как найти число всех сочетаний из n по m элементов? Что такое размещения? Как найти число всех размещений из n по m элементов? Какое событие называется достоверным? Какое событие называется невозможным? Какое событие называется случайным?

24

25 Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Приведите классическое определение вероятности. Приведите геометрическое определение вероятности. Чему равна вероятность достоверного события? Чему равна вероятность невозможного события? Чему равна вероятность случайного события?

25

«Теория вероятностей и математическая статистика»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/teorija-verojatnostej-i-matematicheskaja-statistika-121021.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Вероятность > Теория вероятностей и математическая статистика