№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Тригонометрические функцииИсследовательский проект Исполнитель: Воронко Е.В. ученик 11 «А» класса Руководитель: Кирилова Т.Л. учитель математики |
2 |
 |
Содержание проекта |
3 |
 |
Историческая справка |
4 |
 |
История развитияИстоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад. Индийские математики были первопроходцами в применении алгебры и тригонометрии к астрономическим вычислениям. Лагадха (450-350 до Р.Х.) — единственный из самых древних известный сегодня математик, использовавший геометрию и тригонометрию в своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), большая часть работ которого была уничтожена иностранными захватчиками. |
5 |
 |
История развитияВ Европе основы геометрии закладывал древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (310-230 до Р.Х.) в труде "О величинах и взаимных расстояниях Солнца и Луны". Греческий математик Клавдий Птолемей (87-165 от Р.Х.) также внёс большой вклад в развитие тригонометрии. |
6 |
 |
История развитияЗначительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604 |
7 |
 |
История развитияТеорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. |
8 |
 |
История развитияТеорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. |
9 |
 |
История развитияДальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным. |
10 |
 |
История развитияАналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. |
11 |
 |
История развитияТаким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. |
12 |
 |
Ученые мира тригонометрии |
13 |
 |
Гиппарх НикейскийГиппарх Никейский (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.) ( др. –греч. ????????) — древнегреческий астроном, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона. |
14 |
 |
Гиппарх НикейскийГиппарх родился в Никее (в настоящее время Изник, Турция). Большую часть жизни проработал на острове Родос, где он, вероятно, и скончался. Его первое и последнее астрономические наблюдения датируются, соответственно, 162 и 127 гг. до н. э.Предполагается, что он был в контакте с астрономами Александрии и Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти научные центры лично. Основным источником информации о его трудах является «Альмагест» Птолемея; последний оставил следующую характеристику Гиппарха: «муж трудолюбец и поклонник истины». Из собственных сочинений Гиппарха до нас дошло только одно, критический комментарий к популярной астрономической поэме Арата. |
15 |
 |
Клавдий ПтолемейКлавдий Птолемей (???????? ??????????, ок. 87—165) — древнегреческий астроном, математик, оптик, теоретик музыки и географ. В период с 127 по 151 год жил в Александрии, где проводил астрономические наблюдения. |
16 |
 |
Клавдий ПтолемейКлавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур в науке позднего эллинизма. В астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия — от Гиппарха (II в. до н. э.) до Бируни (X—XI вв. н. э.). История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов). Римский nomen (родовое имя) Клавдий (Claudius) показывает, что Птолемей был римским гражданином и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия лет за 40 до его рождения. |
17 |
 |
Насирэддин ТусиНасирэддин Туси Абу Джафар Мухаммед ибн Мухаммед ибн Хасан Абу Бакр (18.2.1201, Туе, - 25.6.1274, Багдад), учёный-энциклопедист и государственный деятель. Сначала служил у исмаилитов Аламута, а с 1256 - у монгольского ильхана Хулагу, стал его личным советником и секретарём. Руководил строительством Марагинской обсерватории. Трактат Насирэддин Туси о государственных финансах содержит подробный материал о налоговой системе в государстве Хулагуидов. Насирэддин Туси также автор главы о взятии Багдада монголами в сочинении персидского историка Джувейни. Написал широко известный на Востоке труд «Насирова этика». Философские воззрения формировались под влиянием Бахманяра. |
18 |
 |
Насирэддин ТусиБольшую ценность представляют его «Комментарии к философии и логике Ибн Сины» (Авиценны), где Насирэддин Туси опровергает взгляды идейных противников Ибн Сины. Теории поэзии посвящена 10-я глава его книги по логике «Асас аль-иктибас» и труд «Мийар аль-аш"ар». Под руководствомНасирэддин Туси был составлен астрономический каталог «Зидж Эльхани» (см. Зидж). Автор работ по математике; в их числе «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных линий» и «Изложение Евклида», где постулат о параллельных связан с вопросом о сумме углов треугольника, «Трактат о полном четырехстороннике», где изложена плоская и сферическая тригонометрия как самостоятельная дисциплина. |
19 |
 |
РегиомонтанРегиомонтан, (лат. Regiomontanus, подлинное имя — Йоганн Мюллер, нем. Johannes M?ller) (6 июня 1436, Кёнигсберг (Бавария) — 6 июля 1476, Рим) — выдающийся немецкий астроном и математик. Именем Региомонтан его впервые назвал Филипп Меланхтон в предисловии к своему изданию книги «Сфера мира» Сакробоско. |
20 |
 |
РегиомонтанЙоганн Мюллер родился в городе Кёнигсберге в Баварии. Уже в 11 лет он стал студентом Лейпцигского университета. Весной1450 года в 14 лет он перешёл в Венский университет. В 15 лет после окончания факультета свободных искусств Региомонтан стал бакалавром. С 1453 года слушал лекции по математике и астрономии Георга Пурбаха, с которым впоследствии сотрудничал до скоропостижной смерти последнего в 1461 году. В 1457 году Региомонтан становится магистром и сам приступает к чтению лекций. В этом же году он приступает к систематическим астрономическим наблюдениям. |
21 |
 |
РегиомонтанВ 1461 году Региомонтан знакомится с кардиналом Виссарионом, от которого получает предложение совершить поездку в Италию, и в составе его свиты уезжает в Рим. В течение всего времени, которое Региомонтан провёл при кардинале, он вёл активный розыск древнегреческих рукописей. Летом 1463 года Виссарион едет в Венецию в качестве папского легата, а Региомонтан его сопровождает. Здесь Региомонтану первому в Европе удалось обнаружить текст уцелевших шести книг «Арифметики» Диофанта. В 1464 году Региомонтан читает в Падуе лекции по астрономии ал-Фаргани. В это же время он знакомится с феррарским астрономом и математиком Джованни Бьянкини и ведёт с ним переписку. |
22 |
 |
РегиомонтанЛетом 1467 года Региомонтан приезжает в Венгрию по приглашению епископа Яноша Витеза и работает в Буде при дворе венгерского короля Матвея Корвина. С 1471 года Региомонтан жил в Нюрнберге, где он вместе со своим учеником Бернхардом Вальтером основал научную типографию и одну из первых в Европе обсерваторий в доме, который впоследствии приобрел знаменитый художник Альбрехт Дюрер (сейчас дом-музей Дюрера). Умер Региомонтан в 1476 году в Риме, куда приехал для выработки календарной реформы. |
23 |
 |
Николай КоперниковНиколай Коперник (нем. Nikolas Koppernigk, польск. Miko?aj Kopernik, лат. Nicolaus Copernicus; 19 февраля 1473, Торунь — 24 мая1543, Фромборк) — польский астроном, математик, экономист, каноник. Наиболее известен как автор средневековой гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции. |
24 |
 |
Значения тригонометрических функций для некоторых углов |
25 |
 |
Таблица значений0°(0 рад) 30° (?/6) 45° (?/4) 60° (?/3) 90° (?/2) 180° (?) 270° (3?/2) 360° (2?) sin a cos a tg a ctg a 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 Не существует 0 Не существует 0 Не существует 1 0 Не существует 0 Не существует |
26 |
 |
Свойства тригонометрических функцииПростейшие тождества Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу ? то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем: Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее: |
27 |
 |
Формулы сложенияЧётность Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные. то есть: |
28 |
 |
Тригонометрические тождестваОсновные тригонометрические формулы Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на квадрат косинуса и синуса соответственно. Основные формулы Основные формулы (1) (2) (3) |
29 |
 |
Формулы двойного углаФормулы двойного угла Формулы двойного угла sin2? = 2sin(?)cos(?) (4) cos2? = cos2? ? sin2? = 2cos2? ? 1 = 1 ? 2sin2? (5) (6) |
30 |
 |
Формулы понижения степениФормулы понижения степени выводятся из формул (5): Формулы понижения степени Формулы понижения степени (7) (8) |
31 |
 |
Формулы преобразования произведения функцииФормулы преобразования произведений функций Формулы преобразования произведений функций (9) (10) (11) |
32 |
 |
Формулы преобразования суммы функцииФормулы преобразования суммы функций Формулы преобразования суммы функций (12) (13) (14) (15) (16) |
33 |
 |
ТригонометрияЗначение тригонометрических функции для некоторых углов Свойства тригонометрических функции Тригонометрические тождества Формулы двойного угла Формула понижения степени Формулы преобразования произведения функции Формулы преобразования суммы функции Алгоритмы нахождения наибольшего(наименьшего) значения |
34 |
 |
Цель: Исследовать Открытый Банки Заданий по математике и вычленитьвиды заданий, содержащие тригонометрические функции. Задачи: Классифицировать задания; Вычленить необходимый теоретический материал для успешного решения задания; Найти рациональные приемы и методы решения; |
35 |
 |
Объект исследованияОткрытый банк заданий по математике |
36 |
 |
Итогом исследования является определение основных тенденция вподготовке к итоговой аттестации типа ЕГЭ |
37 |
 |
Классификация заданийС Задания повышенной сложности |
38 |
 |
НахождениеВ-4 Сторон треугольника (многоугольника); Высот; Радиуса вписанной (описанной) окружности; Внешнего(внутреннего) угла треугольника(многоугольника); Наибольшего(наименьшего) угла; |
39 |
 |
В-4Для решения задания нужно знать: Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника; Основные тригонометрические тождества; |
40 |
 |
В-4Прототип В треугольнике АВС АС=12. Найдите ВС. |
41 |
 |
В-4ВС=5х, АВ=13х х=1 ВС=5. Ответ: ВС=5; Способ 1. Поскольку Ответ:ВС=5 . |
42 |
 |
В-4Способ 2. Ответ:ВС=5 |
43 |
 |
В-4Прототип № 27905 Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника. Решение Проведем из точки О перпендикуляр к прямой СВ. Т.к а катет, лежащий против равен половине гипотенузе, т.о. ОВ=2НВ, т.е. ОВ=6 Ответ: R=6 |
44 |
 |
В-4Прототип № 2790) Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника. Решение СО=СВ ВС=6 Ответ: R=6 Со=ов=вс=6 |
45 |
 |
В-4Прототип № 27798 В треугольнике ABC , угол C равен Найдите высоту AH 1)Внешний угол Ответ: 3 |
46 |
 |
В-7Нужно знать 1. Основные тригонометрические формулы; |
47 |
 |
В-7Прототип №26753 Найти значение выражения Решение: Ответ: 12 . |
48 |
 |
В-7Прототип №26758 Найдите значение выражения Решение |
49 |
 |
В-11Нужно уметь: Знать производную функции; Знать алгоритмы нахождения функции; Уметь исследовать функцию с помощью производной; |
50 |
 |
1. Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего инаименьшего значения функции на отрезке, используем стандартный алгоритм: Найти значения функции на концах отрезка, то есть числа f(a) и f(b); Найти е значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а;b); Сравнить все найденные значения и выразить наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a;b]; 2. Если функция задана графиком, то используем следующий алгоритм: Найти Область определения; найти Производную; Стационарные точки; Промежутки возрастания и убывания; Точки экстремума; |
51 |
 |
Прототип №26778В-11 Найти наибольшее значение y=9x-6sinx+7, |
52 |
 |
Прототип №26725В-11 - + - 2 5 10 х Найти точку максимума |
53 |
 |
Прототип №26725В-11 Т.о. x=5 –точка максимума, т.к. при переходе через данную точку, производная меняет знак. Ответ: 5 |
54 |
 |
Вывод:Егэ - это мир, а Мир невозможно удержать силой. Его можно лишь постичь пониманием. |
55 |
 |
Используемая литератураОткрытый банк заданий http://www.mathege.ru:8080 Википедия http://ru.wikipedia.org |
56 |
 |
ПрактикаВ4 В7 В11 Выберите задание? |
«Тригонометрические функции» |