Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Исследовательский проект

Исполнитель: Воронко Е.В. ученик 11 «А» класса Руководитель: Кирилова Т.Л. учитель математики

Содержание проекта

Историческая справка

История развития

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад. Индийские математики были первопроходцами в применении алгебры и тригонометрии к астрономическим вычислениям. Лагадха (450-350 до Р.Х.) — единственный из самых древних известный сегодня математик, использовавший геометрию и тригонометрию в своей книге «Джьётиша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), большая часть работ которого была уничтожена иностранными захватчиками.

История развития

В Европе основы геометрии закладывал древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (310-230 до Р.Х.) в труде "О величинах и взаимных расстояниях Солнца и Луны". Греческий математик Клавдий Птолемей (87-165 от Р.Х.) также внёс большой вклад в развитие тригонометрии.

История развития

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604

История развития

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

История развития

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

История развития

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

История развития

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

История развития

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Ученые мира тригонометрии

Гиппарх Никейский

Гиппарх Никейский (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.) ( др. –греч. ????????) — древнегреческий астроном, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона.

Гиппарх Никейский

Гиппарх родился в Никее (в настоящее время Изник, Турция). Большую часть жизни проработал на острове Родос, где он, вероятно, и скончался. Его первое и последнее астрономические наблюдения датируются, соответственно, 162 и 127 гг. до н. э.Предполагается, что он был в контакте с астрономами Александрии и Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти научные центры лично. Основным источником информации о его трудах является «Альмагест» Птолемея; последний оставил следующую характеристику Гиппарха: «муж трудолюбец и поклонник истины». Из собственных сочинений Гиппарха до нас дошло только одно, критический комментарий к популярной астрономической поэме Арата.

Клавдий Птолемей

Клавдий Птолемей (???????? ??????????, ок. 87—165) — древнегреческий астроном, математик, оптик, теоретик музыки и географ. В период с 127 по 151 год жил в Александрии, где проводил астрономические наблюдения.

Клавдий Птолемей

Клавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур в науке позднего эллинизма. В астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия — от Гиппарха (II в. до н. э.) до Бируни (X—XI вв. н. э.). История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов). Римский nomen (родовое имя) Клавдий (Claudius) показывает, что Птолемей был римским гражданином и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия лет за 40 до его рождения.

Насирэддин Туси

Насирэддин Туси Абу Джафар Мухаммед ибн Мухаммед ибн Хасан Абу Бакр (18.2.1201, Туе, - 25.6.1274, Багдад), учёный-энциклопедист и государственный деятель. Сначала служил у исмаилитов Аламута, а с 1256 - у монгольского ильхана Хулагу, стал его личным советником и секретарём. Руководил строительством Марагинской обсерватории. Трактат Насирэддин Туси о государственных финансах содержит подробный материал о налоговой системе в государстве Хулагуидов. Насирэддин Туси также автор главы о взятии Багдада монголами в сочинении персидского историка Джувейни. Написал широко известный на Востоке труд «Насирова этика». Философские воззрения формировались под влиянием Бахманяра.

Насирэддин Туси

Большую ценность представляют его «Комментарии к философии и логике Ибн Сины» (Авиценны), где Насирэддин Туси опровергает взгляды идейных противников Ибн Сины. Теории поэзии посвящена 10-я глава его книги по логике «Асас аль-иктибас» и труд «Мийар аль-аш"ар». Под руководствомНасирэддин Туси был составлен астрономический каталог «Зидж Эльхани» (см. Зидж). Автор работ по математике; в их числе «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных линий» и «Изложение Евклида», где постулат о параллельных связан с вопросом о сумме углов треугольника, «Трактат о полном четырехстороннике», где изложена плоская и сферическая тригонометрия как самостоятельная дисциплина.

Региомонтан

Региомонтан, (лат. Regiomontanus, подлинное имя — Йоганн Мюллер, нем. Johannes M?ller) (6 июня 1436, Кёнигсберг (Бавария) — 6 июля 1476, Рим) — выдающийся немецкий астроном и математик. Именем Региомонтан его впервые назвал Филипп Меланхтон в предисловии к своему изданию книги «Сфера мира» Сакробоско.

Региомонтан

Йоганн Мюллер родился в городе Кёнигсберге в Баварии. Уже в 11 лет он стал студентом Лейпцигского университета. Весной1450 года в 14 лет он перешёл в Венский университет. В 15 лет после окончания факультета свободных искусств Региомонтан стал бакалавром. С 1453 года слушал лекции по математике и астрономии Георга Пурбаха, с которым впоследствии сотрудничал до скоропостижной смерти последнего в 1461 году. В 1457 году Региомонтан становится магистром и сам приступает к чтению лекций. В этом же году он приступает к систематическим астрономическим наблюдениям.

Региомонтан

В 1461 году Региомонтан знакомится с кардиналом Виссарионом, от которого получает предложение совершить поездку в Италию, и в составе его свиты уезжает в Рим. В течение всего времени, которое Региомонтан провёл при кардинале, он вёл активный розыск древнегреческих рукописей. Летом 1463 года Виссарион едет в Венецию в качестве папского легата, а Региомонтан его сопровождает. Здесь Региомонтану первому в Европе удалось обнаружить текст уцелевших шести книг «Арифметики» Диофанта. В 1464 году Региомонтан читает в Падуе лекции по астрономии ал-Фаргани. В это же время он знакомится с феррарским астрономом и математиком Джованни Бьянкини и ведёт с ним переписку.

Региомонтан

Летом 1467 года Региомонтан приезжает в Венгрию по приглашению епископа Яноша Витеза и работает в Буде при дворе венгерского короля Матвея Корвина. С 1471 года Региомонтан жил в Нюрнберге, где он вместе со своим учеником Бернхардом Вальтером основал научную типографию и одну из первых в Европе обсерваторий в доме, который впоследствии приобрел знаменитый художник Альбрехт Дюрер (сейчас дом-музей Дюрера). Умер Региомонтан в 1476 году в Риме, куда приехал для выработки календарной реформы.

Николай Коперников

Николай Коперник (нем. Nikolas Koppernigk, польск. Miko?aj Kopernik, лат. Nicolaus Copernicus; 19 февраля 1473, Торунь — 24 мая1543, Фромборк) — польский астроном, математик, экономист, каноник. Наиболее известен как автор средневековой гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Таблица значений

0°(0 рад)

30° (?/6)

45° (?/4)

60° (?/3)

90° (?/2)

180° (?)

270° (3?/2)

360° (2?)

sin a

cos a

tg a

ctg a

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

1

0

1

Не существует

0

Не существует

0

Не существует

1

0

Не существует

0

Не существует

Свойства тригонометрических функции

Простейшие тождества Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу ? то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Формулы сложения

Чётность Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные. то есть:

Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические формулы

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на квадрат косинуса и синуса соответственно.

Основные формулы

Основные формулы

(1)

(2)

(3)

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла

sin2? = 2sin(?)cos(?)

(4)

cos2? = cos2? ? sin2? = 2cos2? ? 1 = 1 ? 2sin2?

(5)

(6)

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (5):

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

(7)

(8)

Формулы преобразования произведения функции

Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведений функций

(9)

(10)

(11)

Формулы преобразования суммы функции

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Тригонометрия

Значение тригонометрических функции для некоторых углов

Свойства тригонометрических функции

Тригонометрические тождества

Формулы двойного угла

Формула понижения степени

Формулы преобразования произведения функции

Формулы преобразования суммы функции

Алгоритмы нахождения наибольшего(наименьшего) значения

Цель: Исследовать Открытый Банки Заданий по математике и вычленить

виды заданий, содержащие тригонометрические функции. Задачи: Классифицировать задания; Вычленить необходимый теоретический материал для успешного решения задания; Найти рациональные приемы и методы решения;

Объект исследования

Открытый банк заданий по математике

Итогом исследования является определение основных тенденция в

подготовке к итоговой аттестации типа ЕГЭ

Классификация заданий

С

Задания повышенной сложности

Нахождение

В-4

Сторон треугольника (многоугольника); Высот; Радиуса вписанной (описанной) окружности;

Внешнего(внутреннего) угла треугольника(многоугольника); Наибольшего(наименьшего) угла;

В-4

Для решения задания нужно знать: Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника; Основные тригонометрические тождества;

В-4

Прототип

В треугольнике АВС АС=12. Найдите ВС.

В-4

ВС=5х, АВ=13х х=1 ВС=5. Ответ: ВС=5;

Способ 1. Поскольку

Ответ:ВС=5

.

В-4

Способ 2.

Ответ:ВС=5

В-4

Прототип № 27905

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение Проведем из точки О перпендикуляр к прямой СВ. Т.к а катет, лежащий против равен половине гипотенузе, т.о. ОВ=2НВ, т.е. ОВ=6 Ответ: R=6

В-4

Прототип № 2790)

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями равен Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение СО=СВ ВС=6 Ответ: R=6

Со=ов=вс=6

В-4

Прототип № 27798

В треугольнике ABC , угол C равен Найдите высоту AH

1)Внешний угол

Ответ: 3

В-7

Нужно знать 1. Основные тригонометрические формулы;

В-7

Прототип №26753

Найти значение выражения

Решение:

Ответ: 12

.

В-7

Прототип №26758

Найдите значение выражения

Решение

В-11

Нужно уметь: Знать производную функции; Знать алгоритмы нахождения функции; Уметь исследовать функцию с помощью производной;

1. Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего и

наименьшего значения функции на отрезке, используем стандартный алгоритм: Найти значения функции на концах отрезка, то есть числа f(a) и f(b); Найти е значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а;b); Сравнить все найденные значения и выразить наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a;b];

2. Если функция задана графиком, то используем следующий алгоритм: Найти Область определения; найти Производную; Стационарные точки; Промежутки возрастания и убывания; Точки экстремума;

Прототип №26778

В-11

Найти наибольшее значение y=9x-6sinx+7,

Прототип №26725

В-11

- + - 2 5 10 х

Найти точку максимума

Прототип №26725

В-11

Т.о. x=5 –точка максимума, т.к. при переходе через данную точку, производная меняет знак. Ответ: 5

Вывод:

Егэ - это мир, а Мир невозможно удержать силой. Его можно лишь постичь пониманием.

Используемая литература

Открытый банк заданий http://www.mathege.ru:8080 Википедия http://ru.wikipedia.org

Практика

В4

В7

В11

Выберите задание?