Презентация на тему «Уравнения и неравенства показательной функции»

Показательная функция

Алгебра и начала анализа 11 класс

Повторение

Найти область определения выражения: а)х ; б)(х – 1) ; в)х- +6. Сравните числа: а) ( ) и 2-0,2; б) 5 · 0,41,4 и 2 · 2,5-0,5. Вычислить: а) 165/4; б) 2430,2; в) ( )- ; г) · 24/3:31/6; д) · ( )8/3 · (1/5)7/6.

Графики показательных функций

Показательная функция

1. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными: a) y = 2x; б) y = x2 ; в) y =(-3)x; г) y =( )x; д) y = x; е) y =(x - 2)3; ж) y = x; з) y = 3-x. 2. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими: а) y = 5x; б) y = (0,5)x; в) y =( )x; г) y = 10x; д) y = x; е) y= (?)x; ж) y = 49 - ; з) y =(14 cos )-x. 3. Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга? Рассмотреть случаи х>0, х<0. а) y = 2x и y = 5x; б) y = (?)x и y = (?)x.

Показательная функция y = x

Показательная функция y = x, >1

У

a

0

Х

y = ax

1. D (y) = R, непрерывна на R 2. E (y) = R+ =(0;+?), ограничена снизу прямой у = 0 3.Y ни четная, ни нечетная 4. У = 0 нет 5. Y > 0 на R 6. Y возрастает на R 7. Экстремумов нет 8. Выпукла вниз 9.Дифференцируема на R

1

1

Функция y = x

Показательная функция y = x, 0 < < 1

x

- 1

0

1

y

1

А

y = ax

У убывает на R

y

1

0

1

x

Показательные уравнения

Уравнения вида a f (x) = a g (x) (где а >0, а ? 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду называются показательными. Простейшие показательные уравнения: a f (x) = b (a f (x) = 1). Примеры: 22x – 4=64; (?)2x+3,5=( )-1; 5x-3 = 53x – 8.

Графический метод

Функционально – графический метод

{

5x = 1, 5x = 5

0,3x = 3

0,3x=1 Х = 0

Х = 0

Х = 1

Х = - 1

y=5x

y=1

Метод

Функционально – графический метод

y=2x

2x =0,1x X=0

y=(0,1)x

2x=4x

y=2x

X=0

y=4x

y = 4x

y = 0,1x

y = 2x

Функционально – графический метод

a f (x) = b g (x)

2 –x = 3 0,5x у = 2 –x у = 3 0,5x X = 0

У

0

Х

4

1

1

Y = 2 –x

Y = 3 0,5x

Метод уравнивания показателей

Показательное уравнение a f (x) = a g (x) (где а > 0, а ? 1) равносильно уравнению f (x) = g (x)

б) 8x = 16 23x = 24 3x = 4 x = 1 Ответ: 1

Теорема:

Примеры: а) 4х = 64 4х = 43 х = 3 Ответ: 3

в) ( )x = 7 7 -2x = 71 -2x = 1 x = - 0,5 Ответ: - 0,5

Уравнения

a f (x) = a g (x)

Уравнения вида

20,5x = 30,5x 30,5x > 0 ( ) 0,5x = 1 0,5х = 0 х = 0 Ответ: х = 0

4х+1 + 4х = 320 4х . 4 + 4х = 320 4х(4 + 1) = 320 4х . 5 = 320 4х = 43 х = 3 Ответ: х = 3.

Метод введения новой переменной

Уравнения вида А ? а2х + В?ах + С= 0 ах = t , t > 0

+

-

=

4

2

24

0

=

=

=

4

(

2

)

2

(

2

)

=

2

2

?

2

+

-

=

(

2

)

2

?

2

24

0

+

Х

Х

1

Х

2

Х

2

Х

Х

2

+

Х

1

Х

Х

2

Х

Введение новой переменной

[

[

[

Введение новой переменной

Методы решения показательных уравнений:

Функционально –графический (графические иллюстрации); Уравнивания показателей (a t = a s); Введения новой переменной.