Урок систематизации и обобщения знаний по алгебре и началам анализа в 11классе «Логарифмы

Урок систематизации и обобщения знаний по алгебре и началам анализа в

11классе «Логарифмы. Решение логарифмических уравнений»

Учитель математики Петрова Г.Б. НОУ «Православная классическая гимназия имени Андрея Рублева» г.о. Электросталь Московской области

Цели урока

1. Образовательные – отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмической функции; применять их при решении логарифмических уравнений; уметь применять различные методы решения логарифмических уравнений. 2. Развивающие – развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся. Формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию исследовательской и творческой деятельности учащихся. 3. Воспитательные - воспитание познавательной активности. Воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в математике не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Цели урока

Сегодня на уроке мы будем повторять, Все о логарифмах подробно вспоминать, Логарифмические уравнения с О.Д.З. решать, Задания ЕГЭ С части разбирать. Эпиграф: «Усердие все превозмогает»

Лист самооценки

Итоговое количество баллов ____ Оценка ____ Критерии оценивания: «3» 10 – 15 баллов, «4» 16 – 30 баллов, «5» более 30 баллов.

Фамилия, имя _________________________

№ П/п

1

2

3

4

5

6

Этапы работы

Достижения

Количество баллов

Устная работа 1 балл.

Воспроизведение опорных знаний

Исследовательская работа 6 баллов.

Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их О.Д.З.

Диктант По 1 баллу за верное выполнение каждого задания, max17 баллов.

Знание свойств логарифмической функции

Самостоятельная работа 1-4 балла.

Умения учащихся применять разные методы при решении логарифмических уравнений

Логарифмический софизм 2?3 2 балла.

Умения учащихся применять свойства логарифмов

Дополнительное задание 2-9 баллов.

Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения.

Логарифмом b по основанию a называется __________________, в которую надо возвести __________, чтобы получить _______. Значение основания a должно быть ________. Число b принимает _______________ значения.

Логарифм по основанию 10 называется ___________. Логарифм по основанию e называется _____________.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным. Логарифм по основанию e называется натуральным.

Свойства логарифмов

График логарифмической функции

Устная работа

№ П/п

Выражения

Ответы

1

2

3

4

5

Н

Ю

Б

Е

П

Г

Т

И

В

Р

3

0

1

4

0,6

0,5

5

49

-3

2

Историческая справка

Джон Непер

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Исследовательская работа

«Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений» Вопросы: Что происходит с ОДЗ при замене log2(x(x+3)) на log2x + log2(x +3)? Что происходит с ОДЗ при обратной замене? В каком случае могут потеряться корни? В каком случае могут образоваться посторонние корни?

Задания Найдите ОДЗ уравнения log5(3x – 2) + log5(x – 7) = 2 + log52

Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась ОДЗ (расширилась или сузилась)? Решите уравнение. Выполните проверку. Дайте ответ. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления.

Решение

Вопросы: 1) Что происходит с ОДЗ при замене log2(x(x+3)) на log2x +

log2(x +3)? 2) Что происходит с ОДЗ при обратной замене? 3) В каком случае могут потеряться корни? 4) В каком случае могут образоваться посторонние корни?

Ответы: 1) ОДЗ сужается. 2) ОДЗ расширяется. 3) При сужении ОДЗ. 4) При расширении ОДЗ.

Выводы:

Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их использовании О.Д.З. уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую ситуацию легко исправить проверкой истинности равенства для найденных значений, то вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений.

Диктант по свойствам логарифмической функции

Логарифмическая функция у = logax определена при любом х

Функция у = logax определена при а > 0, а ?1, х > 0

Областью определения логарифмической функции является множество R

Областью значений логарифмической функции является множество R

Логарифмическая функция – четная

Логарифмическая функция – нечетная

Функция у = logax – возрастающая при а >1

Функция у = logax при 0?a?1 возрастающая

Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0)

График функции у = log аx пересекается с осью ОХ

График логарифмической функции находится лишь в верхней полуплоскости

График логарифмической функции симметричен относительно ОХ

График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0)

График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях

Существует логарифм отрицательного числа

Существует логарифм дробного положительного числа

График логарифмической функции проходит через точку (0; 0)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Логарифмическая функция у = logax определена при любом х

Функция у = logax определена при а > 0, а ?1, х > 0

Областью определения логарифмической функции является множество R

Областью значений логарифмической функции является множество R

Логарифмическая функция – четная

Логарифмическая функция – нечетная

Функция у = logax – возрастающая при а >1

Функция у = logax при 0?a?1 возрастающая

Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0)

График функции у = log аx пересекается с осью ОХ

График логарифмической функции находится лишь в верхней полуплоскости

График логарифмической функции симметричен относительно ОХ

График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0)

График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях

Существует логарифм отрицательного числа

Существует логарифм дробного положительного числа

График логарифмической функции проходит через точку (0; 0)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Ответы

Логарифмическая функция у = logax определена при любом х

Функция у = logax определена при а > 0, а ?1, х > 0

Областью определения логарифмической функции является множество R

Областью значений логарифмической функции является множество R

Логарифмическая функция – четная

Логарифмическая функция – нечетная

Функция у = logax – возрастающая при а >1

Функция у = logax при 0?a?1 возрастающая

Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0)

График функции у = log аx пересекается с осью ОХ

График логарифмической функции находится лишь в верхней полуплоскости

График логарифмической функции симметричен относительно ОХ

График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0)

График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях

Существует логарифм отрицательного числа

Существует логарифм дробного положительного числа

График логарифмической функции проходит через точку (0; 0)

1

-

2

+

3

-

4

+

5

-

6

-

7

+

8

-

9

-

10

+

11

-

12

-

13

+

14

+

15

-

16

+

17

-

Способы решения логарифмических уравнений

Самостоятельная работа

Решение

Логарифмический софизм 2>3

Рассмотрим верное неравенство: 1/4 >1/8. Преобразуем его к виду: (1/2)2>(1/2)3, Большему значению соответствует больший логарифм, значит: lg (1/2)2>lg(1/2)3. По свойству логарифма: 2lg(1/2)>3lg(1/2). После деления на lg(1/2) имеем: 2>3. В чем состоит ошибка этого доказательства?

Решение

Ошибка в том, что при сокращении на lg1/2 не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg1/2 есть число отрицательное.

Домашнее задание

Найдите ошибки!

Ответы домашнего задания

Ода логарифму

Сегодня тема: логарифмы. И это вам совсем не рифмы, Не повесть это, не рассказ, То - математика! Весь сказ! Что логарифмом называем? Так-так, так-так… Опять не знаем?! Кто "показатель" там сказал? Ну, молодец! Ты угадал! Чего, скажите, коль не трудно? Кто там шепнул: «О, как занудно»?! Конечно, степени, друзья. Что возвести должна всё ж я? О, нет: не икс, не бэ, конечно. Перебирать что ль бесконечно? Так и урок пройдёт опять. Так кто же хочет всё же «пять»? «Я знаю! Это - основанье!», - Вдруг слышу гордое признанье. Внезапно зазвенел звонок… Ура! Закончился урок!

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать

глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика способна достичь всех этих целей». Так сказал американский математик Морис Клайн.

Итоги урока

1. Вычисление итогового количества баллов. 2. Самооценка своей работы на уроке. 3. Сдача листов самооценки.

Лист успеха

Ф.И. обучающегося _______________________

Вид работы

Устная работа

Исследовательская работа

Диктант

Самостоятельная работа

Логарифмический софизм

Дополнительное задание

Итог

Мнение ученика

Можешь ли воспроизвести опорные знания?

Владеешь ли элементами исследования?

Можешь ли рассказать другим?

Все ли понятно?

Было ли интересно?

Было ли трудно?

Итоговое мнение

Итоги урока

Что было сегодня необычного? С какими трудностями вы встретились? Что понравилось? Что взяли с урока? Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок?

Дополнительное задание

Решение

Решение

Решение

Решения

Молодцы, ребята

Спасибо за урок!