Тригонометрия
<<  Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств Математика 10 класс Формулы приведения  >>
Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x =
Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x =
Цель:
Цель:
1-й способ
1-й способ
sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; Так как 1 + cos x = 2cos
sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; Так как 1 + cos x = 2cos
3-й способ
3-й способ
sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде sin x – sin (
sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде sin x – sin (
5-й способ
5-й способ
sin x – cos x = 1 sin
sin x – cos x = 1 sin
7-й способ
7-й способ
sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +
sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +
Литература:
Литература:

Презентация на тему: «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1». Автор: user. Файл: «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1.ppt». Размер zip-архива: 117 КБ.

Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1

содержание презентации «Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1.ppt»
СлайдТекст
1 Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x =

Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x =

Проект составил ученик 10п класса МОУ «Бичурга – Баишевская СОШ» Мишкин Михаил

2007 г.

2 Цель:

Цель:

Лучше подготовится к ЭГЕ.

3 1-й способ

1-й способ

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА.

sin x – cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 – cos? x/2 +sin? x/2 = sin? x/2 + cos? x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2cos? x/2 = 0 cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 cos x/2 = 0; x/2 = ?/2 + ?k; x = ? + ?k; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ? 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin? x/2 + cos? x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = ?/4 = ?n; x = ?/2 + 2?n; n Є Z. Ответ: x = ? + 2?k; k Є Z или x = ?/2 + 2?n, n Є Z.

4 sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; Так как 1 + cos x = 2cos

sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; Так как 1 + cos x = 2cos

x/2, а sin x = 2sin x/2 * cos x/2, то 2sin x/2 * cos x/2 – 2cos? x/2 = 0; cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) = 0 cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 cos x/2 = 0; x/2 = ?/2 + ?k; x = ? + ?k; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ? 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin? x/2 + cos? x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = ?/4 = ?n; x = ?/2 + 2?n; n Є Z. Ответ: x = ? + 2?k; k Є Z или x = ?/2 + 2?n, n Є Z.

2-й способ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ.

5 3-й способ

3-й способ

ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА (ЧИСЛА).

sin x – cos x = 1 В левой части уравнения вынесем ?2 за скобку (корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin x и cos x). Получим ?2(sin x * 1/?2 – cos x * 1/?2) = 1; sin x cos ?/4 – cos x sin ?/4 = 1/?2; sin (x – ?/4) = ?2/2 x – ?/4 = (-1)k arcsin ?2/2 + ?k, k Є Z. Ответ: x = ?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k, k Є Z. С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение x = ?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k распадается на два случая x = ? + 2?k, x = ?/2 + 2?k; x – ?/4 = ?/4 + 2?n, x = ?/2 + 2?n, n Є Z, sin (x – ?/4) = ?2/2 => => x – ?/4 = 3?/4 + 2?k; x = ? + 2?k, k Є Z.

6 sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде sin x – sin (

sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде sin x – sin (

/2 – x) = 1. Применяем формулу разности двух синусов, получим 2sin (x – ?/4) cos ?/4 = 1 2sin (x – ?/4) * ?2/2 = 1 sin (x – ?/4) = 1/?2 x – ?/4 = (-1)k arcsin ?2/2 + ?k, k Є Z. Ответ: x = ?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k, k Є Z. С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение x = ?/4 + (-1)k * ?/4 + ?k распадается на два случая x = ? + 2?k, x = ?/2 + 2?k; x – ?/4 = ?/4 + 2?n, x = ?/2 + 2?n, n Є Z, sin (x – ?/4) = ?2/2 => => x – ?/4 = 3?/4 + 2?k; x = ? + 2?k, k Є Z.

4-й способ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОЯНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

7 5-й способ

5-й способ

ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ ФУНКЦИЙ.

sin x – cos x = 1 Так как sin? x + cos? x = 1, то sin x = ± ?1 – cos? x , sin x – cos x = 1 ? ± ?1- cos? x – cos x = 1 , ± ?1 – cos? x = 1 + cos x. Возведём обе части полученного уравнения в квадрат: 1 – cos? x = 1 + 2cos x + cos?x , 2cos? x + 2cos x = 0 , cos x = 0 cos x (cos x + 1) = 0 => cos x + 1 = 0 cos x = 0; x = ?/2 + ?k, k Є Z cos x + 1; cos x = -1; x = ? + 2?n, n Є Z В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести у появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним её. Полученные решения эквиваленты объединению трёх решений: x = ?/2 + 2?k, x = ? + 2?n, x = - ?/2 +2?m. Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонним. Проверим x = - ?/2 + 2?m, m Є Z. Левая часть: sin (-?/2 + 2?m) – cos (-?/2 + 2?m) = sin (-?/2) – cos (-?/2) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1. Следовательно, x = - ?/2 + 2?m, m Є Z – постороннее решение. Ответ: x = ?/2 + 2?k, k Є Z или x = ? + 2?n, n Є Z.

8 sin x – cos x = 1 sin

sin x – cos x = 1 sin

x – 2sin x cos x + cos? x = 1; 1 – sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = ?k; x = ?k/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2?k, k Є Z, x = ?/2 + 2?n, n Є Z, x = ? + 2?m, m Є Z, x = - ?/2 + 2?l, l Є Z. Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ: x = ?/2 + 2?n, n Є Z, или x = ? + 2?m, m Є Z.

6-й способ. ВОЗВЕДЕНЕИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ.

9 7-й способ

7-й способ

ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ tg x (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ: sin x = 2tg x/2 / 1 + tg? x/2; cos x = 1 – tg? x/2 / 1 + tg? x/2; tg x = 2tg x/2 / 1 – tg? x/2.

С учетом приведенных формул уравнение sin x – cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / 1 + tg? x/2 – 1 – tg? x/2 / 1 + tg? x/2 = 1. Умножим обе части уравнения на 1 + tg? x/2 (1 + tg? x/2 ? 0, так как tg? x/2 ? 0): 2tg x/2 – 1 + tg? x/2 = 1 + tg? x/2; 2tg x/2 = 2; tg x/2 = 1; x/2 = ?/4 + ?n; x = ?/2 + 2?n, n Є Z. ОДЗ первоначального уравнения – все множество R. При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е. x/2 = ?/2 + ?k, или x = ? + 2?k, k Є Z. Следует проверить, не является ли x = ? + 2?k решением данного уравнения. Левая часть: sin (? + 2?k) – cos (? + 2?k) = sin ? – cos ? = 0 – (-1) = 1. Правая часть: 1. Значит, x = ? + 2?k, k Є Z – решение уравнения. Ответ: x = ?/2 + 2?n, n Є Z, или x = ? + 2?k, k Є Z.

10 sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +

sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 +

cos x. На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения. y = sin x – график: косинусоида; y = cos x + 1 – график: косинусоида y = cos x смещенная на 1 вверх. Ответ: x = ?/2 + 2?k, k Є Z или x = ? + 2?n, n Є Z.

8-й способ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ.

11 Литература:

Литература:

1. Газета «Математика» №40,октябрь 1995г.

2. Учебник «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 классы, Москва «Просвещение» 2004г.

«Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/vosem-sposobov-reshenija-trigonometricheskogo-uravnenija-sin-x-cos-x-1-148818.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Тригонометрия > Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1