Множества
<<  Основные понятия теории множеств Лекция 1. Теория множеств  >>
Введение в теорию множеств
Введение в теорию множеств
Георг Кантор
Георг Кантор
Бертран Расселл
Бертран Расселл
Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель
Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель
Понятие множества
Понятие множества
Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология
Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология
Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого
Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого
Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из
Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из
Определение 5 тогда и только тогда, когда и
Определение 5 тогда и только тогда, когда и
2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А
2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А
Объединение множеств
Объединение множеств
Пересечение множеств
Пересечение множеств
Пересечение множеств
Пересечение множеств
Объединение и пересечение множеств
Объединение и пересечение множеств
Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1
Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1
Разность множеств
Разность множеств
Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и
Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и
Дополнение множеств
Дополнение множеств
Дополнение множеств
Дополнение множеств
Симметрическая разность
Симметрическая разность
Парадокс Расселла
Парадокс Расселла
Другие формулировки парадокса Расселла
Другие формулировки парадокса Расселла
Решение задач
Решение задач
1. Вычисление множеств
1. Вычисление множеств
2. Выражение множеств
2. Выражение множеств
3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера
3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера
3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера
3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера
4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера
4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера
4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера
4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение
Декартово произведение

Презентация на тему: «Введение в теорию множеств». Автор: User. Файл: «Введение в теорию множеств.ppt». Размер zip-архива: 355 КБ.

Введение в теорию множеств

содержание презентации «Введение в теорию множеств.ppt»
СлайдТекст
1 Введение в теорию множеств

Введение в теорию множеств

1

2 Георг Кантор

Георг Кантор

(03.03.1845 - 06.01.1918) немецкий математик.

2

3 Бертран Расселл

Бертран Расселл

18 мая 1872 — 2 февраля 1970 — английский математик, философ и общественный деятель

3

4 Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель

Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель

(7 января 1871 — 3 февраля 1956) — французский математик и политический деятель.

4

5 Понятие множества

Понятие множества

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). (Г. Кантор). Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. (Б. Расселл) Каждый сам знает, что он понимает под множеством. (Э. Борель)

5

6 Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология

Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология

Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение Указанием определяющего свойства Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

6

7 Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого

Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого

х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 2 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и .

7

8 Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из

Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из

одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания . Пример Указать равные множества A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0}, E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}. Теорема 4 Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда и Доказательство Доказательство этого факта основано на том, что эквивалентность равносильна конъюнкции двух импликаций

8

9 Определение 5 тогда и только тогда, когда и

Определение 5 тогда и только тогда, когда и

Теорема 6 Для любых множеств А, В, С, если и , то Определение 7 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: .

9

10 2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А

2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А

и В называется множество Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}.

A

B

10

11 Объединение множеств

Объединение множеств

Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) – идемпотентность объединения; б) – коммутативность объединения; в) – ассоциативность объединения; г) ; д)

11

12 Пересечение множеств

Пересечение множеств

Определение 4 Пересечением множеств А и В называется множество Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда

B

A

12

13 Пересечение множеств

Пересечение множеств

Теорема 5 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) - идемпотентность пересечения; б) - коммутативность пересечения; в) - ассоциативность пересечения; г)

13

14 Объединение и пересечение множеств

Объединение и пересечение множеств

Теорема 6 1) 2) 3) 4)

14

15 Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1

Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1

Разностью множеств A и B называется множество . Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}.

B

A

15

16 Разность множеств

Разность множеств

Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: 1) 2) 3) 4) Теорема 3 (законы Моргана) а) б)

16

17 Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и

Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и

все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

17

18 Дополнение множеств

Дополнение множеств

Определение 4 Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U (или просто дополнением А) называется множество . Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то – множество иррациональных чисел

A

18

19 Дополнение множеств

Дополнение множеств

Теорема 5 1) 2) 3) Теорема 6(законы Моргана для дополнений) а) ; б) .

19

20 Симметрическая разность

Симметрическая разность

Определение 7 Симметрической разностью множеств A и B называют множество Задача (3 балла). Доказать, что

A

B

20

21 Парадокс Расселла

Парадокс Расселла

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?

21

22 Другие формулировки парадокса Расселла

Другие формулировки парадокса Расселла

Парадокс Брадобрея: Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой? Парадокс Мэра: В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров? Парадокс библиотеки: Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

22

23 Решение задач

Решение задач

23

24 1. Вычисление множеств

1. Вычисление множеств

Дано U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11}, A={1;2;3;7;9}, B={3;4;5;6;10;11}, C={2;3;4;7;8}, D={1;7;11}. Вычислить множества 1) 2) 3) 4) 5)

25 2. Выражение множеств

2. Выражение множеств

Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества. {1,2,3,4,5,7,8}= {4,7,8}= {2,5,6,7}= {2,5}= {5,7,9}= {4,5}= Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8 одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.

26 3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества: 1) 2)

27 3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

3)

4)

28 4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

29 4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

30 Декартово произведение

Декартово произведение

31 Декартово произведение

Декартово произведение

Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b, в котором зафиксирован порядок расположения элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар: 1) если 2)

Определение 1 Декартовым произведением множеств А и В называется множество

Пример Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда {(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)}; {(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}. Очевидно, что, вообще говоря,

32 Декартово произведение

Декартово произведение

Определение 2 а) Множество называется декартовым произведением n множеств; б) - (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А;

Пример

Пусть , ,

Тогда

33 Декартово произведение

Декартово произведение

Пример

Очевидно, что , где R- множество действительных чисел, описывает множество всех точек декартовой плоскости

Задача

Изобразить множество

Решение

34 Декартово произведение

Декартово произведение

Теорема 3 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда

35 Декартово произведение

Декартово произведение

Теорема 4 Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда состоит из mn элементов. Доказательство ММИ по числу элементов множества B. n=1. то есть AB имеет m=m*1 элементов. 2) Допустим, что теорема верна при n=k. 3) И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть где Тогда , где поэтому множество АВ состоит из mk+m=m(k+1) элементов.

«Введение в теорию множеств»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/vvedenie-v-teoriju-mnozhestv-189045.html
cсылка на страницу

Множества

8 презентаций о множествах
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Множества > Введение в теорию множеств